Cách giải bài dạng: Giải phương trình chứa ẩn trong căn thức bậc hai Toán lớp 9

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Giải phương trình chứa ẩn trong căn thức bậc hai Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Nâng lên lũy thừa

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Biến đổi bằng cách nâng lên lũy thừa
• $\sqrt{A}=B<=>A=B^{2}$
• $\sqrt{A}=\sqrt{B}<=>A=B$
• $\sqrt{A}=\sqrt{B}+\sqrt{C}<=>A=B+C+2\sqrt{B}\sqrt{C}$ <=> $2\sqrt{B}\sqrt{C}=A-B-C$ <=> 4.B.C = (A - B - C)$^{2}$
• Bước 3: Đối chiếu với điều kiện, thử lại và kết luận.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a, $\sqrt{x+2}=3x-4$

b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

Hướng dẫn:

a, $\sqrt{x+2}=3x-4$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{4}{3}$

$\sqrt{x+2}=3x-4$ <=> x + 2 = (3x – 4) $^{2}$ <=> 9$^{2}$ - 25x + 4 = 0

<=> (9x – 7)(x - 2) = 0 <=> 9x – 7 = 0 hoặc x – 2 = 0 <=> x = $\frac{7}{9}$ hoặc x = 2

Kết hợp với điều kiện $x\geq \frac{4}{3}$ => phương trình có nghiệm x = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

b, $\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$

ĐKXĐ: $x\geq 3$

$\sqrt{x-3}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ <=> x – 3 = x$^{2}$ - 5x + 6

<=> x$^{2}$ - 6x + 9 <=> (x – 3) $^{2}$ = 0 <=> x – 3 = 0 <=> x = 3

Kết hợp với điều kiện $x\geq 3$ => x = 3 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {3}

c, $\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$

ĐKXĐ: $x\geq -2$

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5$ <=> $(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7})^{2}=25$

<=> 2x + 9 + 2$\sqrt{(x+2)(x+7)}$ = 25 <=> $\sqrt{x^{2}+9x+14}$ = 8 – x

<=> $\left\{\begin{matrix}x^{2}+9x+14=(8-x)^{2} && \\ 8-x\geq 0 && \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}25x=50 && \\ x\leq 8 && \end{matrix}\right.$

<=> x = 2

Kết hợp với điều kiện $x\geq -2$ => x = 2 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

2. Nhân biểu thức liên hợp

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
• Bước 2: Nhẩm nghiệm (thường là nghiệm nguyên). Giả sử phương trình có nghiệm x = a
• Bước 3: Tách, thêm bớt rồi nhân liên hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (x – a).
• Bước 4. Chứng minh biểu thức còn lại luôn âm hoặc dương
• Bước 5. Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: $x\geq 2$

Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình, như vậy phương trình có thể phanan tích về dạng (x - 3).A(x) = 0. Ta tách và nhóm như sau:

$3\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3x-2$ <=> $3(\sqrt{x+1}-2)+(\sqrt{x+2}+1)=3x-9$

<=> $\frac{3.(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{\sqrt{x}+2}+\frac{(\sqrt{x-2}-1)(\sqrt{x-2}+1)}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$

<=> $3\frac{(x+1)-4}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{(x-2)-1}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ 

<=>  $3\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=3(x-3)$ 

<=> $(x-3).\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$

<=> x - 3 = 0 (1) hoặc $\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )=0$ (2)

Với điều kiện $x\geq 2$ ta có $\sqrt{x}+2>2$ và $\sqrt{x-2}+1\geq 1$, kéo theo

$\left ( \frac{3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}-3 \right )<\frac{3}{2}+1-3<0$

Do đó phương trình (2) vô nghiệm.

Xét phương trình (1) x - 3 = 0 <=> x = 3

Kết hợp với điều kiện $x\geq 2$ => phương trình dã cho có nghiệm x = 3.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}

3. Đưa về phương trình trị tuyệt đối

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về phương trình trí tuyệt đối
• Bước 3: Xét dấu giá trị tuyệt đối để giải phương trình

$\sqrt{f^{2}(x)}=g(x)$ <=> |f(x)| = g(x) <=> $\left\{\begin{matrix}f(x)=g(x)(f(x)\geq 0) &  & \\ f(x)=-g(x)(f(x)<0) &  & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$

Hướng dẫn:

$\sqrt{x^{2}-2x+1}=3x+2$ <=> $\sqrt{(x-1)^{2}}=3x+2$ <=> |x - 1| = 3x + 2

Với $x - 1\geq 0$ <=> $x\geq 1$, ta có:

x - 1 = 3x + 2 <=> x = $\frac{-3}{2}$ (loại vì không thảo mãn $x\geq 1$)

Với x -1 < 0 <=> x < 1, ta có:

x - 1 = -3x -2 <=> x = $\frac{-1}{4}$ (thỏa mãn x < 1)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {$\frac{-1}{4}$}

4. Đặt ẩn phụ

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ.
• Bước 2: Đặt một (hoặc nhiều) biểu thức thích hợp làm ẩn mới, (thường là các biểu thức chứa căn thức) tìm điều kiện của ẩn mới.
• Bước 3: Biến đổi phương trình theo ẩn mới (Có thể biến đổi hoàn toàn thành ẩn mới hoặc để cả 2 ẩn cũ và mới) rồi giải phương trình theo ẩn mới.
• Bước 4: Thay trả lại ẩn cũ và tìm nghiệm, đối chiếu ĐKXĐ và kết luận.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$

Hướng dẫn:

ĐKXĐ: $x^{2}-2x-3\geq 0$

$x^{2}-2x+3\sqrt{x^{2}-2x-3}=7$ <=> $x^{2}-2x-3+3\sqrt{x^{2}-2x-3}-4=0$

Đặt t = $\sqrt{x^{2}-2x-3}$ (t $\geq 0$), phương trình trở thành:

t$^{2}$ + 3t - 4 = 0 <=> (t + 4)(t - 1) = 0 

<=> t + 4 = 0 hoặc t - 1 = 0 <=> t = - 4 (loại) hoặc t = 1 (tm)

+ Với t = 1 <=> $\sqrt{x^{2}-2x-3}$ = 1 <=> $x^{2}-2x-3=1$ 

<=> x = $1-\sqrt{5}$ hoặc x = $1+\sqrt{5}$

Kiểm tra thấy hai nghiệm đều thỏa mãn.

Vật tập nghiệm của phương trình S = {$1-\sqrt{5}$; $1+\sqrt{5}$}

5. Đánh giá biểu thức dưới dấu căn

• Bước 1: Tìm ĐKXĐ
• Bước 2: Đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế còn lại hoặc đánh giá cả hai vế.

+ Cách 1: Dùng hằng đẳng thức

Đưa 1 vế về dạng $A^{2}+B^{2}=0$

Phương trình có nghiệm <=>  A = B = 0

+ Cách 2 : Sử dụng các BĐT để đánh giá.

BĐT cô-si: Với hai số a, b $\geq 0$ thì ta có: a + b $\geq 2\sqrt{ab}$.

Dấu "=" xảy ra <=> a = b

BĐTB Bunhiakôpxki: Cho hai bộ số (a, b) và (x, y) thì ta có: $(ax+by)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2}$

Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

.....

• Bước 3 : Xét dấu = xảy ra và đối chiếu tìm nghiệm của phương trình.

Ví dụ 5: Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$  (1)

Hướng dẫn:

Ta có (1) <=> $\sqrt{3(x^{2}+2x+1+\frac{4}{3})}+\sqrt{5(x^{2}+2x+1+\frac{9}{5})}=-(x^{2}+2x+1)+5$

<=> $\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}=5-(x+1)^{2}$

Ta có Vế trái $\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$. Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1

Vế phải $\leq 5$. Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0 <=> x = -1

Suy ra hai vế của phương trình đều bằng 2 <=> x = -1 

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}