Giải phương trình bằng cách nhân với biểu thức liên hợp

Giải phương trình bằng cách nhân với biểu thức liên hợp.

a, Để phương trình có nghiệm thì: $\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}=3x-5+\sqrt{x^2+5}$ có nghiệm ó $3x-5\ge 0$ <=> $x\ge \frac{5}{3}$

$\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}$ <=> $\sqrt{x^2+12}-4=3x-6+\sqrt{x^2+5}-3$

<=> $\frac{x^2+12-16}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2+5-9}{\sqrt{x^2+5}+3}$

<=> $\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}$

<=> $\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^2+12}+4}=3(x-2)+\frac{(x-2)(x+2)}{\sqrt{x^2+5}+3}$

<=> (x - 2)\left (\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+5}+3}-3  \right )$

<=> x – 2 = 0 (1)  hoặc $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3$ = 0 (2)

<=> x = 2 (thỏa mãn)

Ta có: Với $x\ge \frac{5}{3}$ thì $\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-3$ < 0

Phương trình (2) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

b, $\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3(x^2-x-1)}-\sqrt{x^2-3x+4}$

<=> $\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3(x^2-x-1)}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}$

<=> $\frac{3x^2-5x+1-3(x^2-x-1)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x-1)}}=\frac{x^2-2-(x^2-3x+4)}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$

<=> $\frac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x-1)}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$

<=> $\frac{-2(x-2)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x-1)}}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}$

<=> $(x-2).\frac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x-1)}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}=0$

Ta có $\frac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3(x^2-x-1)}}+\frac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}>0$

<=>  x – 2 = 0 <=> x = 2 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {2}

c, ĐKXĐ: $x\ge -2$

Nhân cả hai vế của phương trình với $\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$ ta được:

$[(x+3)-(x+2)](1+\sqrt{x^2+5x+6})=sqrtx+3+\sqrt{x+2}$

<=> $1+\sqrt{(x+3)(x+2)}=sqrtx+3+\sqrt{x+2}$ <=> $(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+2}-1)=0$

 

<=> $\sqrt{x+3}-1=0$ hoặc $\sqrt{x+2}-1=0$

<=> x + 3 = 1 hoặc x + 2 = 1 <=> x = -2 hoặc x = -1

 

Kết hợp với điều kiện $x\ge -2$ => phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = -2

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-2; -1}

d, ĐKXĐ: $x\ge -\frac{9}{2};x\ne 0$

$\frac{2x^2}{(3-\sqrt{9+2x}{)}^2}=x+9$

<=> $\frac{2x^2.(3+\sqrt{9+2x}{)}^2}{(3-\sqrt{9+2x}{)}^2(3+\sqrt{9+2x}{)}^2}=x+9$

<=> $\frac{2x^2.(18+2x+6\sqrt{9+2x})}{4x^2}=x+9$

<=> $9+x+3\sqrt{9+2x}=x+9$

<=> $3\sqrt{9+2x}=0$ ó 9 + 2x = 0 <=> x = $\frac{-9}{2}$

Kết hợp với điều kiện $x\ge -\frac{9}{2};x\ne 0$ => x = $\frac{-9}{2}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{-9}{2}$}