Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.

a, ĐK: $x \geq 2$

Đặt $\sqrt{x - 2} = t$ ( $t \geq 0$ )=> $t^{2} = x - 2$ <=> $x = 2 + t^{2}$

Thay vào phương trình ban đầu ta có:

$t + \sqrt{t^{2} + 5} = 5$ <=> $\sqrt{t^{2} + 5} = 5 - t$

Với $t \leq 5$ ta có: $t^{2} + 5 = (5 - t)^{2}$ <=> 10t = 20 <=> t = 2 (thỏa mãn)

+ T = 2 => $\sqrt{x - 2} = 2$ <=> x - 2 = 4 <=> x = 6 (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {6}

b, ĐK: $x \geq - \frac{4}{5}$

Đặt $\sqrt{4 x + 5} = t$ ( $t \geq 0$ )=> $x = \frac{t^{2} - 5}{4}$ . Thay vào phương trình ta có:

$2. \frac{t^{4} - 10 t^{2} + 25}{16} - \frac{6}{4} (t^{2} - 5) - 1 = t$

<=> $t^{4} - 22 t^{2} - 8 t + 27 = 0$ <=> $(t^{2} + 2 t - 7) (t^{2} - 2 t - 11) = 0$

<=> $t^{2} + 2 t - 7 = 0$ hoặc $t^{2} - 2 t - 11 = 0$

<=> $t = - 1 \pm 2 \sqrt{2}$ hoặc $t = 1 \pm 2 \sqrt{3}$

Vì t chỉ nhận giá trị dương => $t = - 1 + 2 \sqrt{2}$ hoặc $t = 1 + 2 \sqrt{3}$

+ $t = - 1 + 2 \sqrt{2}$ => $\sqrt{4 x + 5} = - 1 + 2 \sqrt{2}$

<=> $4 x + 5 = (- 1 + 2 \sqrt{2})^{2}$ <=> $x = 1 - \sqrt{2}$ (thỏa mãn)

+ $t = 1 + 2 \sqrt{3}$ => $\sqrt{4 x + 5} = 1 + 2 \sqrt{3}$

<=> $4 x + 5 = (1 + 2 \sqrt{3})^{2}$ <=> $x = 2 + \sqrt{3}$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = { $1 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{3}$

c, $3 x^{2} + 21 x + 18 + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 2$ <=> $3 (x^{2} + 7 x + 7) + 2 \sqrt{x^{2} + 7 x + 7} - 5 = 0$

Đặt $\sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = y, y \geq 0$

Phương trình có dạng: $3 y^{2} + 2 y - 5 = 0$ <=> (3y + 5)(y - 1) = 0

<=> 3y + 5 = 0 hoặc y - 1 = 0 <=> y = $- \frac{5}{3}$ (loại) hoặc y = 1

+ Với y = 1 => $\sqrt{x^{2} + 7 x + 7} = 1$ <=> $x^{2} + 7 x + 7 = 1$

<=> $x^{2} + 7 x + 6 = 0$ <=> (x + 1)(x + 6) = 0

<=> x + 1 = 0 hoặc x + 6 = 0 <=> x = -1 hoặc x = -6

Vậy tập nghiệm của phương trình S = { -6; -1}