Giải phương trình bằng cách đánh giá

Giải phương trình bằng cách đánh giá.

a, $\sqrt{x} + \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 16} = 9$

Đk: $x \geq 0$

Do $x \geq 0$ kéo theo $\sqrt{x + 4} \geq 2$ ; $\sqrt{x + 9} \geq 3$ ; $\sqrt{x + 16} \geq 4$

=> $\sqrt{x} + \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 9} + \sqrt{x + 16} \geq 0 + 2 + 3 + 4 = 9$

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0

Vậy tập nghiệm của phương trình S ={0}

b, $\sqrt{3 x^{2} + 6 x + 12} + \sqrt{5 x^{4} - 10 x^{2} + 30} = 8$

<=> $\sqrt{3 (x + 1)^{2} + 9} + \sqrt{5 (x^{2} - 1)^{2} + 25} = 8$

Ta có $\sqrt{3 (x + 1)^{2} + 9} \geq 3$ ; $\sqrt{5 (x^{2} - 1)^{2} + 25} \geq 5$

=> $\sqrt{3 (x + 1)^{2} + 9} + \sqrt{5 (x^{2} - 1)^{2} + 25} \geq 3 + 5 = 8$

Dấu "=" xảy ra <=> ${\begin{matrix} x + 1 = 0 \\ x^{2} - 1 = 0 \end{matrix}$

<=> x = -1

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {-1}

c, ĐK: x > $\frac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{x}{\sqrt{4 x - 1}} + \frac{\sqrt{4 x - 1}}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{\sqrt{4 x - 1}} . \frac{\sqrt{4 x - 1}}{x}} = 2$

Dấu "=" xảy ra <=> $\frac{x}{\sqrt{4 x - 1}} = \frac{\sqrt{4 x - 1}}{x}$

<=> $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ <=> $(x - 2)^{2} = 3$ <=> $x = 2 \pm \sqrt{3}$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình S = { $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$ }

d, Ta có: $(\sqrt{7 - x} + \sqrt{x - 5})^{2} \leq (1 + 1) (7 - x + x - 5) = 4$

<=> $0 < \sqrt{7 - x} + \sqrt{x - 5} \leq 2$

$x^{2} - 12 x + 38 = (x - 6)^{2} + 2 \geq 2$

Suy ra hai vế của phương trình bằng 2 <=> ${\begin{matrix} \sqrt{7 - x} = \sqrt{x - 5} \\ x - 6 = 0 \end{matrix}$ <=> x = 6

Vậy tập nghiệm của phương trình S = {6}