Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: So sánh, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn thức Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. So sánh các căn thức
- Với hai số dương a,b bất kì ta có: a < b <=> $\sqrt{a}<\sqrt{b}$
- A$^{2}$ ≥ 0 với mọi biểu thức A.
Ví dụ 1: Không dùng máy tính hãy so sánh:
a, $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$
b, 16 và $\sqrt{15}.\sqrt{17}$
Hướng dẫn:
a, Giả sử $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ < $\sqrt{10}$ (1)
Ta có (1) <=> $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$ < $\sqrt{10}^{2}$
<=> 2 + 3 + 2$\sqrt{6}$ < 10 <=> 2$\sqrt{6}$ < 5 <=> 24 < 25 (2) (luôn đúng)
Ta thấy (2) luôn đúng mà (1) <=> (2). Vaatyj (1) đúng hay $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ < $\sqrt{10}$
b, 16 = $\sqrt{16^{2}}$ = $\sqrt{256}$
$\sqrt{15}.\sqrt{17}$ = $\sqrt{15.17}=\sqrt{255}$
Vì 256 > 255 => $\sqrt{256}$ > $\sqrt{255}$ hay 16 > $\sqrt{15}.\sqrt{17}$
2. Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN
- Biến đổi tương đương
- Biến đổi hệ quả
- Dùng bất đẳng thức Cô-si
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức Cô-si cho hai số a và b không âm:
$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$
Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: $(a+b)^{2}\geq 4ab$
Hướng dẫn:
+ Ta có: $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ (1) <=> $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
<=> $a + b - 2\sqrt{ab}\geq 0$ <=> $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0$ (2)
Do (2) đúng với mọi $a\geq 0$; $b\geq 0$. Mà (2) <=> (1) => (1) đúng
=> Đpcm
+ Áp dụng BĐT Cô-si ta được: $a+b\geq 2\sqrt{ab}$
Bình phương cả hai vế ta được:
$(a+b)^{2}\geq 4ab$ => đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
Vi dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức sau:
$P=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$
Hướng dẫn:
Vì $\sqrt{x}\geq 0$ với mọi $x\geq 0$ và $x+\sqrt{x}+1=\left ( \sqrt{x}+\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}>0$ với mọi $x\geq 0$
=> $P\geq 0$ với mọi $x\geq 0$. Dấu "=" xảy ra khi x = 0
Vậy min P = 0 đạt được tại x = 0
Lại có: $(\sqrt{x}-1)\geq 0$ với mọi $x\geq 0$
=> 1 = $\frac{x+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}\geq \frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}=3P$ hay $P\leq \frac{1}{3}$ với mọi $x\geq 0$
Dấu "=" xảy ra <=> $\sqrt{x}-1=0$ <=> $\sqrt{x}=1$ <=> x = 1
Vậy max P = $\frac{1}{3}$ đạt được tại x = 1.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Không dùng máy tính hãy so sánh:
a, 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$
b, $\sqrt{10}+\sqrt{13}$ và $\sqrt{11}+\sqrt{12}$
c, $\sqrt{100}+\sqrt{200}$ và $\sqrt{104}+\sqrt{196}$
d, $\sqrt{a}+\sqrt{7}$ và $\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}$
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a, $ab(a+b)\leq a^{3}+b^{3}$
b, $\frac{a^{2}+2}{\sqrt{a^{2}+1}}\geq 2$
c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}$ (với a, b, c là các số dương)
d, $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ (với a, b, c là các số dương và x, y, z là các số thực tùy ý)
3. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh các bất đẳng thức sau, với a, b, c là các số dương:
a, $(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
b, $(1+ab)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )\geq 4$
c, $\left ( 1+\frac{a}{b} \right )\left ( 1+\frac{b}{c} \right )\left ( 1+\frac{c}{a} \right )\geq 8$
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a, Y = $x+\sqrt{x}+4$
b, Y = $x-\sqrt{x}+10\frac{1}{4}$
c, Y = $\frac{3\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+2}$
d, Y = $\frac{\sqrt{x+2}}{x-\sqrt{x}+3}$