Chứng minh các bất đẳng thức

Chứng minh các bất đẳng thức .

2.  a,  $ab(a+b)\le a^3+b^3$ <=> $ab(a+b)\le (a+b)(a^2-ab+b^2)$

<=> $(a+b)(a^2-2ab+b^2)\ge 0$ <=> $(a+b)(a-b{)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

b, $\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge 2$ <=> $a^2+2\ge 2.\sqrt{a^2+1}$

<=>  $a^2+1-2.\sqrt{a^2+1}+1\ge 0$ <=> $(\sqrt{a^2+1}-1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

c, $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 

<=> $\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge \frac{bc+ac+ab}{abc}$ 

<=> $a^2+b^2+c^2\ge bc+ac+ab$ (vì a, b, c là các số dương)

<=> $2.(a^2+b^2+c^2)\ge 2.(bc+ac+ab)$

<=> $a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2-2ac+a^2\ge 0$

<=> $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

d, $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge \frac{(x+y{)}^2}{a+b}$

<=> $(b{x}^2+a{y}^2)(a+b)\ge (x^2+2xy+y^2).ab$

<=> $a^2{y}^2-2aybx+b^2{x}^2\ge 0$ <=> $(ay-bx{)}^2\ge 0$ (luôn đúng)

=> Bất đẳng thức đã cho luôn đúng

3. a, Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai bộ, mỗi bộ hai số không âm là a, b và a, b ta được:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\ge 0$ (1)

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\ge 0$ (2)

Nhân (1) với (2) ta có: $(a+b)(a+b)\ge 4ab$ <=> $(a+b)(\frac{a+b}{ab})\ge 4$

<=> $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$

b, Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai bộ, mỗi bộ số không âm là a, b và 1, ab ta được:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\ge 0$ (1)

$1+ab\ge 2\sqrt{ab}\ge 0$ (2)

Nhân (1) với (2) ta có: $(1+ab)(a+b)\ge 4ab$ <=> $(1+ab)(\frac{a+b}{ab})\ge 4$

<=> $(1+ab)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4$

c, Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba bộ, mỗi bộ số không âm là a, b; b, c và a, c ta được:

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\ge 0$ (1)

$b+c\ge 2\sqrt{bc}\ge 0$ (2)

$a+c\ge 2\sqrt{ac}\ge 0$ (3)

Lấy (1).(2).(3) ta được: $(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc$ <=> $\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}\ge 8$

<=> $(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})\ge 8$