Cách giải bài dạng: Giải các phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 9

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Giải các phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Giải phương trình trùng phương $ax^{4}+bx^{2}+c=0; a\neq 0$:

• Đặt x$^{2}$ = t ($t\geq 0$)
• Giải phương trình $at^{2}+bt+c=0$
• Với mỗi giá trị không âm của t, giải phương trình x$^{2}$ = t để tìm x

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a, $2x^{4}+7x^{2}+5=0$                  b, $3x^{4}-5x^{2}-28=0$

Hướng dẫn:

Các phương trình đã cho đều là phương trình trùng phương.

Đặt x$^{2}$ = t ($t\geq 0$)

a, Phương trình $2x^{4}+7x^{2}+5=0$ trở thành: $2t^{2}+7t+5=0$

Vì 2 - 7 + 5 = 0 nên ta tìm được t = -1 hoặc t = $-\frac{5}{2}$

Hai giá trị này của t bị loại vì không thỏa mãn điều kiện $t\geq 0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b, Phương trình $3x^{4}-5x^{2}-28=0$ trở thành $3t^{2}-5t-28=0$

$\Delta =25+336=361$ => $\sqrt{\Delta }=\sqrt{361}=19$

t₁ = $\frac{5+19}{6}=4$ (thỏa mãn $t\geq 0$); t₂ = $\frac{5-19}{6}=-\frac{7}{3}$ (loại )

Với t = 4, ta có x$^{2}$ = 4 <=> x = 2 hoặc x = -2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2 hoặc x = -2.

2. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Đặt điều kiện cho ẩn để các mẫu thức khác 0.
• Quy đồng mẫu, khử mẫu
• Giải phương trình vừa tìm được
• Chọn giá trị của ẩn thỏa mãn điều kiện đặt ra rồi kết luận.

Ví dụ 2: Giải phương trình:

$\frac{x^{2}-3x+5}{(x+2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}$

Hướng dẫn:

Điều kiện: $x\neq 2;x\neq 3$

Khử mẫu và biến đổi ta được phương trình:

$x^{2}-3x+5=x+2$ <=> $x^{2}-4x+3=0$

Vì 1 - 4 + 3 = 0 nên ta tìm được: x₁ = 1; x₂ = 3

Vì x = 3 không thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 1

3. Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ khác.

• Chọn biểu thức thích hợp đặt làm ẩn phụ
• Biểu diễn các biểu thức khác qua ẩn phụ đó
• Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ.
• Giải phương trình tìm ẩn phụ rồi suy ra ẩn ban đầu.

Ví dụ 3: Giải phương trình (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0

Hướng dẫn:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0 <=> [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = 0

<=> (x$^{2}$ + 5x + 4)(x$^{2}$ + 5x + 6) - 24 = 0 (*)

Đặt t = x$^{2}$ + 5x + 4, ta có x$^{2}$ + 5x + 6 = t + 2

Khi đó phương trình (*) trở thành: t(t + 2) - 24 = 0 <=> t$^{2}$ + 2t - 24 = 0 

$\Delta' =1+24=25$ => $\sqrt{\Delta' }=\sqrt{25}=5$

t₁ = -1 - 5 = -6; t₂ = -1 + 5 = 4

Với t₁ = -6, ta có: x$^{2}$ + 5x + 4 = -6 <=> x$^{2}$ + 5x + 10 = 0

$\Delta =25-40=-15$ < 0 => Phương trình vô nghiệm

Với t₂ = 4, ta có:  x$^{2}$ + 5x + 4 = 4 <=> x$^{2}$ + 5x = 0 

<=> x(x + 5) = 0 <=> x = 0 hoặc x = -5

Vậy phương trình dã cho có tập nghiệm là S = {-5; 0}