Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Xét vị trí tương đối giữa parabol y = ax^2 và đường thẳng y = kx + b Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để xét vị trí tương đối giữa parabol (P): y = ax$^{2}$ và đường thẳng (d): y = kx + b, ta lập phương trình ax$^{2}$ = kx + b hay ax$^{2}$ - kx - b = 0 (*). Số nghiệm của phương trình này chính là số điểm chung của hai đồ thị.
- (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ((d) và (P) có hai điểm chung phân biệt) ⇒ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0 hoặc Δ' > 0).
- (d) tiếp xúc với (P) ((d) và (P) có một điểm chung) phương trình (*) có nghiệm kép (Δ = 0 hoặc Δ' = 0).
- (d) và (P) không cắt nhau phương trình (*) vô nghiệm (Δ < 0 hoặc Δ' < 0).
Ví dụ: Cho parabol (P): y = ax$^{2}$ và đường thẳng d: y = kx + 3
a, Xác định các hệ số a và k, biết parabol và đường thẳng có một điểm chung là A(3; 18)
b, Từ kết quả của câu a, hãy tìm giao điểm thứ hai (nếu có) của (P) và (d).
Hướng dẫn:
a, Từ giả thiết suy ra điểm A(3; 18) thuộc (P) và (d), do đó ta có:
18 = 9a và 18 = 3k + 3
=> a = 2 và k = 5
Vậy a = 2 và k = 5.
b, Ta có hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình:
2x$^{2}$ = 5x + 3 <=> 2x$^{2}$ - 5x - 3 = 0
$\Delta =5^{2}-4.2.(-3)=49$ => $\sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$
x1 = $\frac{5+7}{4}$ = 3; x2 = $\frac{5-7}{4}$ = -$\frac{1}{2}$
x1 chính là hoành độ điểm A, với x2 = -$\frac{1}{2}$ ta có y2 = 2.(-$\frac{1}{2}$)$^{2}$ = $\frac{1}{2}$
Vậy giao điểm thứ hai của (P) và (d) là B(-$\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. a, Vẽ đồ thị hàm số y = $\frac{1}{2}x^{2}$
b, Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = $\frac{1}{2}x^{2}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Tính tọa độ giao điểm này khi m = $\frac{3}{2}$
2. Cho parabol (P): y = x$^{2}$ và đường thẳng d có phương trình y = mx + 1.
a, Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b, Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3.
3. Cho đường thẳng thẳng d có phương trình: y = -$\frac{2(m-1)}{m-2}$x + 2 = 0, m $\neq 2$
a, Tìm m để đường thẳng d cắt parabol y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt A và B.
b, Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m.
4. Cho parabol (P): y = m$x^{2}$ và đường thẳng (d): y = nx + 4. Xác định m, n để (P) và (d) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x = -2.
5. Cho parabol y = $\frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng y = mx + n
Xác định các hệ số m và n để đường thẳng đi qua điểm A(-1; 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm tọa độ của tiếp điểm.