Bài toán parabol cắt đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước.
4. Để (P) tiếp xúc với d tại điểm có hoành độ là x = -2 thì phương trình m$x^{2}$ = nx + 4 phải có nghiệm kép x = -2 hay phương trình m$x^{2}$ - nx - 4 = 0 có nghiệm kép x = -2.
<=> $\left\{\begin{matrix}m(-2)^{2}-n.(-2)-4=0 & & \\ n^{2}=4.4m=0 & & \end{matrix}\right.$
<=> $\left\{\begin{matrix}m=-1 & & \\ n=4 & & \end{matrix}\right.$
5. Đường thẳng y = mx + n đi qua A(-1; 0) <=> 0 = m.(-1) + n <=> n = m
Phương trình đường thẳng có dạng y = mx + m
Đường thẳng tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi phương trình $\frac{1}{2}x^{2}$ = mx + m (1) có nghiệm kép.
(1) <=> $\frac{1}{2}x^{2}$ - mx - m = 0
<=> $x^{2}$ - 2mx - 2m = 0
Điều kiện để (1) có nghiệm kép: $\Delta' =0$ <=> $m^{2}+2m=0$
<=> m.(m + 2) = 0
<=> m = 0 hoặc m = -2
+ Với m = 0, đường thẳng là y = 0 (trục hoành), nghiệm kép của (1) là x = 0
Ta có tiếp điểm O(0; 0)
+ Với m = -2, tiếp tuyến có phương trình y = -2x - 2
Phương trình (1) có dạng $x^{2}$ - 4x + 4 = 0 <=> x = -2. Tiếp điểm là B(-2; 2)