Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng.

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm x$^{2}$ = mx + 1 <=> x$^{2}$ - mx - 1 = 0

a, Vì a, c trái dấu nên $\Delta >0$ => Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B mà x_A < 0 < x_B

b, Gọi I là giao của d và trục Oy, ta có I(0; 1). Vì x_A < 0 < x_B nen I thuộc đoạn AB.

S_AOB = S_OAI + S_OIB = $\frac{|x_{A}|.OI+|x_{B}|.OI}{2}$ = $\frac{|x_{A}|+|x_{B}|}{2}$

= $\frac{x_{B}-x_{A}}{2}$ = $\frac{\sqrt{m^{2}+4}}{1}=\sqrt{m^{2}+4}$

Vì S_AOB = 3 <=> $\sqrt{m^{2}+4}$ = 3 <=> $m^{2}=5$ <=> m = $\pm \sqrt{5}$

3. a, Xét hệ $\left\{\begin{matrix}2(m-1)x+(m-2)y=2 &  & \\ y=x^{2} &  & \end{matrix}\right.$

=> (m - 2)x$^{2}$ + 2(m - 1)x - 2 = 0

Để d cắt parabol y = x$^{2}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

<=> $\left\{\begin{matrix}a=m-2\neq 0 &  & \\ \Delta' >0 &  & \end{matrix}\right.$ 

<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 &  & \\ m^{2}-3>0 &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 &  & \\ m>\sqrt{3} &  & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}m\neq 2 &  & \\ m<-\sqrt{3} &  & \end{matrix}\right.$

b, Gọi I là trung điểm của AB thì x_I = $\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-b}{2a}=\frac{1-m}{m-2}$

$I\in d$ <=> 2(m - 1)x_I + (m - 2)y_I = 2

<=> 2(m - 1)$\frac{1-m}{m-2}$ + (m - 2)y_I = 2

<=> y_I = $\frac{2(m^{2}-m-1)}{(m-2)^{2}}$