Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng

Biện luận số giao điểm của parabol và đường thẳng.

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm x${}^2$ = mx + 1 <=> x${}^2$ - mx - 1 = 0

a, Vì a, c trái dấu nên $\mathrm{\Delta }>0$ => Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B mà x_A < 0 < x_B

b, Gọi I là giao của d và trục Oy, ta có I(0; 1). Vì x_A < 0 < x_B nen I thuộc đoạn AB.

S_AOB = S_OAI + S_OIB = $\frac{|x_A|.OI+|x_B|.OI}{2}$ = $\frac{|x_A|+|x_B|}{2}$

= $\frac{x_B-x_A}{2}$ = $\frac{\sqrt{m^2+4}}{1}=\sqrt{m^2+4}$

Vì S_AOB = 3 <=> $\sqrt{m^2+4}$ = 3 <=> $m^2=5$ <=> m = $\pm \sqrt{5}$

3. a, Xét hệ $\{\begin{array}{ccc}2(m-1)x+(m-2)y=2& & \\ y=x^2& & \end{array}$

=> (m - 2)x${}^2$ + 2(m - 1)x - 2 = 0

Để d cắt parabol y = x${}^2$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt

<=> $\{\begin{array}{ccc}a=m-2\ne 0& & \\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0& & \end{array}$ 

<=> $\{\begin{array}{ccc}m\ne 2& & \\ m^2-3>0& & \end{array}$

<=> $\{\begin{array}{ccc}m\ne 2& & \\ m>\sqrt{3}& & \end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{ccc}m\ne 2& & \\ m<-\sqrt{3}& & \end{array}$

b, Gọi I là trung điểm của AB thì x_I = $\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-b}{2a}=\frac{1-m}{m-2}$

$I\in d$ <=> 2(m - 1)x_I + (m - 2)y_I = 2

<=> 2(m - 1)$\frac{1-m}{m-2}$ + (m - 2)y_I = 2

<=> y_I = $\frac{2(m^2-m-1)}{(m-2{)}^2}$