Giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ

Giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.

a, $(x^2-2x{)}^2+4x^2-8x+3=0$ <=> $(x^2-2x{)}^2+4(x^2-2x)+3=0$

Đặt $x^2-2x$ = t, ta có t${}^2$ + 4t + 3 = 0

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4-3=1$ => $\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{1}=1$

t₁ = -2 + 1 = -1; t₂ = -2 - 1 = -3

+ Với t₁ = -1, ta có $x^2-2x=-1$ <=> $x^2-2x+1=0$ <=> (x + 1)${}^2$ = 0

=> Phương trình có nghiệm kép x = -1

+ Với t₂ = -3, ta có  $x^2-2x=-3$ <=> $x^2-2x+3=0$ 

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-3=-2$ < 0 => phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -1

b, Đặt $x^2-5x+1=t$, ta có t(t + 1) = 6 <=> t${}^2$ + t - 6 = 0

Phương trình này có hai nghiệm:

t₁ = $\frac{-1+\sqrt{1^2-4.(-6)}}{2}$ = 2; t₂ = $\frac{-1-\sqrt{1^2-4.(-6)}}{2}$ = -3

+ Với t₁ = 2, ta có $x^2-5x+1=2$ <=> $x^2-5x-1=0$

Phương trình có hai nghiệm:

x₁ = $\frac{5+\sqrt{(-5{)}^2-4.(-1)}}{2}$ = $\frac{5+\sqrt{29}}{2}$; x₂ = $\frac{5-\sqrt{(-5{)}^2-4.(-1)}}{2}$ = $\frac{5-\sqrt{29}}{2}$

+ Với t₂ = -3, ta có $x^2-5x+1=-3$ <=> $x^2-5x+4=0$

Phương trình có hai nghiệm:

x₃ = $\frac{5+\sqrt{(-5{)}^2-4.4}}{2}$ = 4; x₄ = $\frac{5-\sqrt{(-5{)}^2-4.4}}{2}$ = 1

Vậy phương trình dã cho có 4 nghiệm: x₁ = $\frac{5+\sqrt{29}}{2}$; x₂ = $\frac{5-\sqrt{29}}{2}$; x₃ = 4; x₄ = 1.

c, Điều kiện $x\ne 0$

Đặt $x^2-\frac{6}{x^2}$ = t, ta có $t^2+6t+5=0$

Phương trình này có hai nghiệm:

t₁ = $-3+\sqrt{3^2-5}$ = -3 + 2 = -1; t₂ = $-3-\sqrt{3^2-5}$ = -3 - 2 = -5

+ Với t₁ = -1, ta có $x^2-\frac{6}{x^2}$ = -1 => $x^4+x^2-6=0$

<=> $x^2=2$ hoặc  $x^2=-3$ (loại)

<=> x = $\pm \sqrt{2}$

+ Với Với t₁ = -3, ta có  $x^2-\frac{6}{x^2}$ = -3 => $x^4+5x^2-6=0$

<=> $x^2=1$ hoặc  $x^2=-6$ (loại)

<=> x  = $\pm 1$

Vậy phương trình có tập nghiệm {-$\sqrt{2}$; -1; 1; $\sqrt{2}$}

d, Đặt $\sqrt{x^2-2x+4}$ = t ($t\ge 0$), ta có $t^2+3t-10=0$

Phương trình này có hai nghiệm:

t₁ = $\frac{-3+\sqrt{3^2-4.(-10)}}{2}$ = 2; t₂ = $\frac{-3-\sqrt{3^2-4.(-10)}}{2}$ = -5 (loại)

Với t = 2, ta có $\sqrt{x^2-2x+4}$ = 2 <=> $x^2-2x$ = 0 

<=> x = 0 hoặc x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = 2.