Bài tập tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập tìm tham số m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

4. ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(m+1{)}^2-m^2-m=m+1$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m + 1 > 0 <=> m > -1

b, Theo định lí Vi-ét:

x₁ + x₂ = 2(m + 1) và x₁.x₂ = $m^2+m$

Do đó: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$ 

= $[2(m+1){]}^2-2(m^2+m)=4m^2+8m+4-2m^2-2m$ = $2m^2+6m+4$

Ta lại có $|x_1^2-x_2^2|=|x_1+x_2|.|x_1-x_2|=|x_1+x_2|.\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

= $|2(m+1)|.\sqrt{4(m+1{)}^2-4(m^2+m)}$ = $4|m+1|\sqrt{m+1}$

5. Điều kiện có nghiệm: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(m-2{)}^2-4(m+5)\ge 0$ <=> $m^2-8m-16\ge 0$ (*)

Từ phương trình $x^2+(m-2)x+m+5=0$ ta có: $\{\begin{array}{ccc}{x}_1+x_2=2-m& & \\ x_1.x_2=m+5& & \end{array}$

Theo giả thiết $x_1^2+x_2^2=10$

<=> $(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=10$ 

<=> $(2-m{)}^2-2(m+5)$ = 10 <=> $m^2-6m-16=0$

Giải phương trình với ẩn m: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=3^2-(-16)=25$ => $\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\sqrt{25}=5$

m₁ =  3+ 5 = 8; m₂ = 3 - 5 = -2

Thay m₁ = 8 và m₂ = -2 vào (*), ta thấy chỉ có m₂ = -2 thỏa mãn.

Vậy m = -2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10$