Cách giải bài dạng: Tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn Toán lớp 9

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Tính tỉ số lượng giác của một góc nhọn Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho góc nhọn $\alpha $, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc $\alpha $, kẻ đường vuông góc với cạnh kia:

Khi đó:

• sin$\alpha $ = $\frac{Cạnh đối}{Cạnh huyền}=\frac{AB}{BC}$
• cos$\alpha $ = $\frac{Cạnh kề}{Cạnh huyền}=\frac{AC}{BC}$
• tan$\alpha $ = $\frac{Cạnh đối}{Cạnh kề}=\frac{AB}{AC}$
• cot$\alpha $ = $\frac{Cạnh kề}{Cạnh đối}=\frac{AC}{AB}$

Nhận xét: Vì độ dài của các cạnh trong một tam giác vuông đều dương và hai cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền nên 0 < sin$\alpha $ < 1, 0 < cos$\alpha $ < 1; tan$\alpha $ > 0; cot$\alpha $ > 0.

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng $90^{0}$) thì: sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Trên hình: sinB = cosC; cosB = sinC

                 tanB = cotC; cotB = tanC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại C, có BC = 1,2; CA = 0,9. Tính cá tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại C, ta có:

$AB^{2}=BC^{2}+CA^{2}=1,2^{2}+0,9^{2}=1,5^{2}$ => AB = 1,5

Ta có:

• tanB = $\frac{CA}{CB}$ = $\frac{0,9}{1,2}$ = $\frac{3}{4}$
• cotB = $\frac{CB}{CA}$ = $\frac{1,2}{0,9}$ = $\frac{4}{3}$
• sinB = $\frac{CA}{AB}$ = $\frac{0,9}{1,5}$ = $\frac{3}{5}$
• cosB = $\frac{CB}{AB}$ = $\frac{1,2}{1,5}$ = $\frac{4}{5}$

Vì góc A và góc B phụ nhau, nên:

• cotA = tanB = $\frac{3}{4}$
• tanA = cotB = $\frac{4}{3}$
• sinA = cosB = $\frac{4}{5}$
• cosA = sinB = $\frac{0,9}{1,5}$ = $\frac{3}{5}$

3. Một số hệ thức cơ bản

• $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$         
• $cot\alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$
• $tan\alpha .cot\alpha =1$                                 
• $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$
• $tan^{2}\alpha +1=\frac{1}{cos^{2}\alpha }$     
• $cot^{2}\alpha +1=\frac{1}{sin^{2}\alpha }$

4. So sánh các tỉ số lượng giác 

Cho $\alpha ;\beta $ là hai góc nhọn. Nếu $\alpha <\beta $ thì

• sin$\alpha $ < sin$\beta $; tan$\alpha $ < tan$\beta $
• cos$\alpha $ < cos$\beta $; cot$\alpha $ < cot$\beta $

Ví dụ 2: Không dùng bẳng số máy tính hãy so sánh:

a, sin20$^{0}$ và sin70$^{0}$                    b, cos25$^{0}$ và cos63$^{0}$15'

c, tan73$^{0}$20' và tan45$^{0}$              d, cot20$^{0}$ và cot37$^{0}$40'

Hướng dẫn:

a, Vì 20$^{0}$ < 70$^{0}$ nên sin20$^{0}$ < sin70$^{0}$    

b, Vì 25$^{0}$ < 63$^{0}$15' nên cos25$^{0}$ > cos63$^{0}$15'

c, Vì 73$^{0}$20' < 45$^{0}$ nên tan73$^{0}$20' < tan45$^{0}$

d, Vì 20$^{0}$ < 37$^{0}$40' nên cot20$^{0}$ > cot37$^{0}$40'