Cách giải bài dạng: Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải tam giác vuông Toán lớp 9

Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Cách giải bài toán dạng: Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để giải tam giác vuông Toán lớp 9. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải dạng toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Định lí: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề
• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có hệ thức:

b = a.sinB = a.cosC = c.tanB = c.cotB

c = a.sinC = a.cosB = b.tanC = b.cotB

1. Giải tam giác vuông biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn

• Bước 1: Xác định cạnh kề, cạnh đối. Viết tỉ số lượng giác để tìm độ dài các cạnh.
• Bước 2: Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.
• Bước 3: Thay giá trị rồi tính.

Ví dụ 1: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết:

a, AC = 10cm; $\widehat{C}=30^{0}$

b, BC = 20cm, $\widehat{B}=35^{0}$

Hướng dẫn:

a, Vì AC = 10cm, kề với góc 30$^{0}$ nên cạnh AB đối diện với góc 30$^{0}$. Ta có:

tan30$^{0}$ = $\frac{AB}{AC}$ <=> $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{AB}{10}$

<=> AB = $\frac{10}{\sqrt{3}}\approx 5,774$ (cm);

cos30$^{0}$ = $\frac{AC}{BC}$ <=> $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{BC}$

<=> BC = $\frac{20}{\sqrt{3}}\approx 11,547$ (cm)

Và $\widehat{B}=90^{0}-30^{0}=60^{0}$

b, Vì  $\widehat{B}=35^{0}$ => $\widehat{C}=90^{0}-35^{0}=55^{0}$ và AB là cạnh kề, AC là cạnh đối với góc $35^{0}$.

Do đó: sin35$^{0}$ = $\frac{AC}{BC}$ <=> $\frac{AC}{20}$ = sin35$^{0}$

<=> AC = 20.sin35$^{0}\approx $11,472 cm

$\frac{AB}{20}$ = cos35$^{0}$ <=> AB = 20.cos35$^{0}\approx $16,383 cm

2. Giải tam giác vuông biết hai cạnh

• Bước 1: Áp dụng định lí Py-ta-go để tìm cạnh còn lại.
• Bước 2: Xác định cạnh kề, cạnh đối, viết tỉ số lượng giác
• Bước 3: Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC vuông A biết AB = 21cm, AC = 18cm

Hướng dẫn:

Áp dụng hệ thức Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A, thu được:

BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ <=> BC$^{2}$ = 21$^{2}$ + 18$^{2}$ = 765

<=> BC = $\sqrt{765}=3\sqrt{85}$ (cm)

tanB = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{18}{21}\approx $0,8571 cm

=> $\widehat{B}\approx 41^{0}$ => $\widehat{C}=90^{0}-41^{0}=49^{0}$

3. Tính cạnh, tính góc của tam giác

• Bước 1: Kẻ thêm đường cao xuống cạnh kề của góc đã biết
• Bước 2: Chuyển bài toán về giải tam giác vuông biết một cạnh và một góc.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, $\widehat{ABC}=38^{0}$; $\widehat{ACB}=30^{0}$. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. Hãy tính:

a, Độ dài đọa thẳng AN

b, Độ dài cạnh AC.

Hướng dẫn:

Kẻ BH vuông góc với AC thì tam giác BHC vuông tại H nên $\widehat{ACB}=30^{0}$ phụ với góc $\widehat{HBC}$ => $\widehat{HBC}=60^{0}$ và $\widehat{HBA}=60^{0}-38^{0}=22^{0}$

Do đó: BH = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.11 = 5,5 (cm) (vì trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc $30^{0}$ bằng nửa cạnh huyền)

a, Tam giác BHA vuông tại H, cạnh huyền BA và cạnh góc vuông BH = 5,5cm kề với góc $\widehat{HBA}=22^{0}$ nên: 

cos$22^{0}$ = $\frac{BH}{AB}$ => AB = $\frac{5,5}{cos22^{0}}\approx 5,932$ cm

Kẻ AN vuông góc với BC. Trong tam giác ABN vuông tại N có AN đối diện với góc $38^{0}$ nên:

sin$38^{0}$ = $\frac{AN}{AB}$ => AN = AB.sin$38^{0}$ = 5,932.sin$38^{0}\approx 3,652$ cm

b, Tam giác ANC vuông tại N, có $\widehat{C}=30^{0}$ nên AC = $\frac{AN}{sin30^{0}}\approx \frac{3,652}{0,5}=7,304$ (cm)