Giải phát triển năng lực toán 9 bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Giải bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 61. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a, Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác ABC.

b, Tìm các cặp tam giác đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn:

a, Các tam giác đồng dạng với tam giác ABC là: tam giác HBA và tam giác HCA

b, Các cặp tam giác đồng dạng với nhau là:

$\Delta ABC\sim \Delta HBA$ (g-g)

$\Delta ACB\sim \Delta HCA$ (g-g)

$\Delta HBA\sim \Delta HAC$ (g-g)

2. Trong hình 1.1, kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c.

Đường cao ứng với cạnh huyền là AH = h, các hình chiếu của AC, AB trên cạnh huyền lần lượt là CH = b'; BH = c'.

a, Tìm các cặp tam giác đồng dạng trong hoạt động 1b có chứa các cạnh có độ dài b, a, b'. Từ đó chứng minh b$^{2}$ = a.b'

b, Chứng minh c$^{2}$ = a.c'

c, Từ kết quả của hoạt động 2a, 2b hãy chứng minh định lý Py-ta-go.

d, Từ kết quả của hoạt động 2a, 2b, em hãy điền từ thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành định lí về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

e, Tính x, y trong hình 1.2:

Hướng dẫn:

a, $\Delta ACB\sim \Delta HCA$ => $\frac{AC}{HC}=\frac{CB}{CA}$ => $\frac{b}{b'}=\frac{a}{b}$ => b$^{2}$ = a.b'

b, $\Delta ABC\sim \Delta HBA$ => $\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{BA}$ => $\frac{c}{c'}=\frac{a}{c}$ => c$^{2}$ = a.c'

c, Ta có: b$^{2}$ + c$^{2}$ = a.b' + a.c' = a.(b' + c') = a.a = a$^{2}$

Hay AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ 

d,

Định lí 1:

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

e, Áp dụng định lý Py - ta - go ta có:

MP$^{2}$ + MN$^{2}$ = NP$^{2}$ => MP = $\sqrt{NP^{2}-MN^{2}}$ = $\sqrt{20^{2}-12^{2}}$ = 16

Áp dụng định lí 1 ta có:

12$^{2}$ = x.20 => x = $\frac{12^{2}}{20}$ = 7,2

16$^{2}$ = y.20 => y = $\frac{16^{2}}{20}$ = 12,8

3. a, Tìm cặp tam giác đồng dạng trong hoạt động 1b có chứa các cạnh h, b', c'. Từ đó chứng minh h$^{2}$ = b'.c'

b, Từ kết quả hoạt động 3a, em hãy điền từ thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành định lí về hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

c, Tính x, y trong hình 1.3:

Hướng dẫn:

a, $\Delta HBA\sim \Delta HAC$ => $\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}$ => $\frac{c'}{h}=\frac{h}{b'}$ => h$^{2}$ = b'.c'

b,

Định lí 2:

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

c, Áp dụng định lí 2 ta có:

2$^{2}$ = 1.x => x = 4

Áp dụng định lý Py - ta - go trong tam giác MKP vuông tại K ta có:

y$^{2}$ = 2$^{2}$ + x$^{2}$ = 2$^{2}$ + 4$^{2}$ = 20

=> y = $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

4. a, Trong hình 1.1, hãy tính diện tích tam giác ABC theo hai cách từ đó chứng minh hệ thức b.c = a.h

b, Từ kết quả của hoạt động 4a, em hãy điền từ thích hợp vào chỗ chấm đề hoàn thành định lí về hệ thức giữa cạnh huyền, đường cao ứng với cạnh huyền và hai góc vuông.

c, Tính x, y trong hình 1.4:

Hướng dẫn:

a, S_ABC = $\frac{1}{2}$.b.c = $\frac{1}{2}$.h.a

=> b.c = a.h

b,

Định lí 3:

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

c, Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác PQR ta có:

x$^{2}$ = 5$^{2}$ + 7$^{2}$ = 74 => x = $\sqrt{74}\approx 8,6$

Áp dụng định lí 3 ta có:

5.7 = x.y => y = $\frac{5.7}{x}$ = $\frac{5.7}{\sqrt{74}}\approx 4,1$

5. a,Trong hình vẽ 1.1, sử dụng định lí Py-ta-go và kết quả của hoạt động 4a, biến đổi biểu thức $\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$ và chứng minh rằng $\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$.

b, Từ kết quả hoạt động 5a, em hãy điền từ thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành định lí về hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và hai cạnh góc vuông.

c, Tính x trong hình 1.5.

Hướng dẫn:

a, Ta có: $\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$ = $\frac{b^{2}+c^{2}}{b^{2}.c^{2}}$ (*)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho hình 1.1:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ (1)

Từ kết quả của hoạt động 4a:

b.c = a.h <=> $b^{2}.c^{2} = a^{2}.h^{2}$ (2)

Thay (1) vào (2) ta có: $b^{2}.c^{2} = (b^{2}+c^{2}).h^{2}$

<=> $\frac{b^{2}+c^{2}}{b^{2}.c^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra: $\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{h^{2}}$

b,

Định lý 4:

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.

c, Áp dụng định lí 4 ta có:

$\frac{1}{15^{2}}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{12^{2}}$.

=> $\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{12^{2}}-\frac{1}{15^{2}}=\frac{1}{400}$.

=> $\frac{1}{x}=\frac{1}{20}$ => x = 20