Giải câu 3 trang 65 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 3 trang 65 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, Áp dụng hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền, ta có:

c${}^2$ = a.c' (1);

b${}^2$ = a.b' (2)

=> Lấy (2) chia (1) ta có: $\frac{b^2}{c^2}=\frac{b^{\prime }}{c^{\prime }}$ hay ${\left(\frac{b}{c}\right)}^2=\frac{b^{\prime }}{c^{\prime }}$

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$b^2=b^{\prime 2}+h^2$

$c^2=c^{\prime 2}+h^2$

=> $b^2-c^2=b^{\prime 2}+h^2-c^{\prime 2}-h^2=b^{\prime 2}-c^{\prime 2}$

b, i. $\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}$ => $\frac{HB+HC}{HC}=\frac{1+4}{4}$ => $\frac{BC}{HC}=\frac{5}{4}$

=> HC = $\frac{4.BC}{5}=\frac{4.25}{5}$ = 20

HB = BC - HC = 25 - 20 = 5

Vận dụng các kết quả trong câu a ta có:

+ ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}$ => $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$ => AC = 2AB

+ $A{B}^2-A{C}^2=H{B}^2-H{C}^2=5^2-{20}^2=-375$

=> $A{B}^2-(2AB{)}^2=-375$ => AB = $5\sqrt{5}$ => AC = $10\sqrt{5}$

+ AH = $\sqrt{A{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{(5\sqrt{5}{)}^2-5^2}=10$

ii. + ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$ => $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$ => AB = 0,75AC

+ $\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$ => HB = HC.$\frac{9}{16}$

Áp dụng hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền ta có:

AH${}^2$ = HB.HC => 24${}^2$ = HC.$\frac{9}{16}$.HC => HC = 32 => HB = 32.$\frac{9}{16}$ = 18

+ BC = HB + HC = 18 + 32 = 50.

+  $A{B}^2-A{C}^2=H{B}^2-H{C}^2$

=> $(0,75AC{)}^2-A{C}^2={18}^2-{32}^2=-700$ => AC = 40

+ AB = 0,75.40 = 30

iii. + ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{HB}{HC}$ => $\frac{HB}{HC}=\frac{9}{16}$

=> $\frac{HB+HC}{HC}=\frac{9+16}{16}$ => $\frac{BC}{HC}=\frac{25}{16}$ => HC = BC.$\frac{16}{25}$ = 125.$\frac{16}{25}$ = 80

+ HB = BC - HC = 125 - 80 = 45

+ $A{B}^2-A{C}^2=H{B}^2-H{C}^2={45}^2-{80}^2=-4375$

=> $(0,75AC{)}^2-A{C}^2=-4375$ => AC = 100 => AB = 0,75.100 = 75

+ AH = $\sqrt{A{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{{75}^2-{45}^2}=60$

iv. $\frac{AB}{AC}=\frac{5}{6}$ => AB = AC.$\frac{5}{6}$

+ ${\left(\frac{AB}{AC}\right)}^2=\frac{HB}{HC}$ => $\frac{HB}{HC}=\frac{25}{36}$ => HB = HC.$\frac{25}{36}$

Áp dụng hệ thức gữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền ta có:

AH${}^2$ = HB.HC => 30${}^2$ = HC.$\frac{25}{36}$.HC => HC = 36 => HB = 36.$\frac{25}{36}$ = 25

+ BC = HB + HC = 25 + 36 = 61

+  $A{B}^2-A{C}^2=H{B}^2-H{C}^2$

=> $(AC.\frac{5}{6}{)}^2-A{C}^2={25}^2-{36}^2=-671$ => AC = 46,86

+ AB = 46,86.$\frac{5}{6}$ = 39,05