Giải phát triển năng lực toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 67. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

a, Em hãy cùng bạn thảo luận để hoàn thaành bảng sau:

Hướng dẫn:

	Cho	So sánh và giải thích
Nội dung 1	$\hat{A}=\hat{D}={90}^0,\hat{B}=\hat{E}$	$\frac{AC}{AB}$ và $\frac{DF}{DE}$ $\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}$ Vì $\mathrm{\Delta }ACB\sim \mathrm{\Delta }DFE$ (g-g)
Nội dung 2	$\hat{A}=\hat{D}={90}^0$; $\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}$	$\hat{B}$ và $\hat{E}$ $\hat{B}=\hat{E}$ Vì Vì $\mathrm{\Delta }ACB\sim \mathrm{\Delta }DFE$ (c-g-c)

b, Cho góc nhọn $\widehat{xOy}=\alpha$, trên tia Ox lấy điểm M bất kì, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với Oy, cắt Oy tại N. Em hãy tính tỉ số $\frac{MN}{ON}$ trong mỗi trường hợp sau đây:

i. $\alpha ={45}^0$             ii. $\alpha ={60}^0$

Hướng dẫn:

i, $\alpha ={45}^0$  => $\widehat{NMO}=900-{45}^0={45}^0$ => Tam giác MNO vuông cân tại O

=> $\frac{MN}{ON}=1$

ii. $\alpha ={60}^0$  =>  $\frac{MN}{ON}=1,73$

Nhận xét:

Trong các tam giác vuông có một góc nhọn bằng $\alpha$, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc nhọn $\alpha$ chỉ phụ thuộc vào độ lớn của $\alpha$ mà không phụ thuộc vào độ dài các cạnh của từng tam giác vuông.

c, Em hãy thực hiện các yêu cầu sau:

• Vẽ một góc nhọn $\alpha$, vẽ tam giác vuông nhận $\alpha$ là một góc nhọn, đặt tên tam giác.
• Chỉ ra các cạnh đối, cạnh kề của góc $\alpha$, cạnh huyền của tam giác.
• Đọc SGK Toán 9 - tập 1, trang 72, diền vào chỗ chấm để hoàn thành bảng định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha$.

Hướng dẫn:

Kí hiệu: cạnh đối = đ; Cạnh kề = k; cạnh huyền = h

Ta có:

• $sin\alpha =\frac{đ}{h}$ được gọi là sin của góc $\alpha$
• $cos\alpha =\frac{k}{h}$ được gọi là cosin của góc $\alpha$
• $tan\alpha =\frac{đ}{k}$ được gọi là tang của góc $\alpha$
• $cot\alpha =\frac{k}{đ}$ được gọi là cotang của góc $\alpha$

d, Từ kết quả của hoạt dộng 1b và 1c, tính tỉ số lượng giác của góc ${45}^0$ và ${60}^0$ 

Hướng dẫn:

$sin{45}^0$ = 0,707                    $sin{60}^0$ = 0,866

$cos{45}^0$ = 0,707                   $cos{60}^0$ = 0,5

$tan{45}^0$ = 1                           $tan{60}^0$ = 1,732 

$cot{45}^0$ = 1                           $cot{60}^0$ = 0,577 

2. a, Từ hoạt động 1c điền dấu (>, <, =) thích hợp vào ô trống để được khẳng định đúng với mọi góc nhọn $\alpha$ và giải thích.

Hướng dẫn: 

$sin\alpha$ > 0                $cos\alpha$ > 0        

$sin\alpha$ < 1                $cos\alpha$ < 1

$tạn\alpha$ = $\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

$\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$ = $cot\alpha$

$si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha$ = 1

b, Trong hình vẽ tam giác vuông của hoạt động 1c, gọi $\beta$ là góc nhọn còn lại

• Em hãy lập các tỉ số lượng giác của góc $\beta$.
• Tìm các cặp tỉ số lượng giác bằng nhau của góc $\alpha$ và $\beta$.
• Từ kết quả thu được, em hãy điền các tỉ số lượng giác thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành liên hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Hướng dẫn: 

+ Tỉ số lượng giác của góc $\beta$

• $sin\beta =\frac{AC}{BC}$                $cos\beta =\frac{AB}{BC}$ 
• $tan\beta =\frac{AC}{AB}$                $cot\beta =\frac{AB}{AC}$ 

+ Các cặp tỉ số lượng giác bằng nhau

• $sin\alpha =cos\beta$           $cos\alpha =sin\beta$
• $tan\alpha =cot\beta$           $cot\alpha =tan\beta$

+ Hoàn thành bảng:

• $sin\alpha =cos({90}^0-\alpha )$           $cos\alpha =sin({90}^0-\alpha )$
• $tan\alpha =cot({90}^0-\alpha )$           $cot\alpha =tan({90}^0-\alpha )$

c, Từ kết quả của hoạt động 1d và 2b em hãy tìm các tỉ số lượng giác của góc ${30}^0$, từ đó hoàn thành bảng lượng giác của các góc đặc biệt.

Hướng dẫn: 

$\alpha$ Tỉ số lượng giác	${30}^0$	${45}^0$	${60}^0$
sin $\alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos $\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tan $\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$
cot $\alpha$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

d, Quan sát bảng thu được sau hoạt động 2c, em có nhận xét gì vè sự tăng, giảm của các tỉ số lượng giác sin $\alpha$, cos $\alpha$, tan $\alpha$, cot $\alpha$ khi góc $\alpha$ tăng?

Nhận xét bảng 2c cũng đúng trong trường hợp $\alpha$ là góc nhọn bất kì. Em hãy điền từ thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành nhận xét

Hướng dẫn: 

• Khi góc $\alpha$ tăng thì sin $\alpha$ tăng, cos $\alpha$ giảm, tan $\alpha$ tăng, cot $\alpha$ giảm.
• Khi góc $\alpha$ tăng từ $0^0$ đến ${90}^0$ thì: 
• sin $\alpha$ và an $\alpha$ tăng.
• cos $\alpha$ và cot $\alpha$ giảm.