Giải bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 67. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
a, Em hãy cùng bạn thảo luận để hoàn thaành bảng sau:
Hướng dẫn:
| Cho | So sánh và giải thích | |
| Nội dung 1 | $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{0},\widehat{B}=\widehat{E}$ | $\frac{AC}{AB}$ và $\frac{DF}{DE}$ $\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}$ Vì $\Delta ACB\sim \Delta DFE$ (g-g) |
| Nội dung 2 | $\widehat{A}=\widehat{D}=90^{0}$; $\frac{AC}{AB}=\frac{DF}{DE}$ | $\widehat{B}$ và $\widehat{E}$ $\widehat{B}=\widehat{E}$ Vì Vì $\Delta ACB\sim \Delta DFE$ (c-g-c) |
b, Cho góc nhọn $\widehat{xOy}=\alpha $, trên tia Ox lấy điểm M bất kì, qua M kẻ đường thẳng vuông góc với Oy, cắt Oy tại N. Em hãy tính tỉ số $\frac{MN}{ON}$ trong mỗi trường hợp sau đây:
i. $\alpha =45^{0}$ ii. $\alpha =60^{0}$
Hướng dẫn:
i, $\alpha =45^{0}$ => $\widehat{NMO}=90{0}-45^{0}=45^{0}$ => Tam giác MNO vuông cân tại O
=> $\frac{MN}{ON}=1$
ii. $\alpha =60^{0}$ => $\frac{MN}{ON}=1,73$
Nhận xét:
Trong các tam giác vuông có một góc nhọn bằng $\alpha $, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc nhọn $\alpha $ chỉ phụ thuộc vào độ lớn của $\alpha $ mà không phụ thuộc vào độ dài các cạnh của từng tam giác vuông.
c, Em hãy thực hiện các yêu cầu sau:
- Vẽ một góc nhọn $\alpha $, vẽ tam giác vuông nhận $\alpha $ là một góc nhọn, đặt tên tam giác.
- Chỉ ra các cạnh đối, cạnh kề của góc $\alpha $, cạnh huyền của tam giác.
- Đọc SGK Toán 9 - tập 1, trang 72, diền vào chỗ chấm để hoàn thành bảng định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn $\alpha $.
Hướng dẫn:
Kí hiệu: cạnh đối = đ; Cạnh kề = k; cạnh huyền = h
Ta có:
- $sin\alpha =\frac{đ}{h}$ được gọi là sin của góc $\alpha $
- $cos\alpha =\frac{k}{h}$ được gọi là cosin của góc $\alpha $
- $tan\alpha =\frac{đ}{k}$ được gọi là tang của góc $\alpha $
- $cot\alpha =\frac{k}{đ}$ được gọi là cotang của góc $\alpha $
d, Từ kết quả của hoạt dộng 1b và 1c, tính tỉ số lượng giác của góc $45^{0}$ và $60^{0}$
Hướng dẫn:
$sin45^{0}$ = 0,707 $sin60^{0}$ = 0,866
$cos45^{0}$ = 0,707 $cos60^{0}$ = 0,5
$tan45^{0}$ = 1 $tan60^{0}$ = 1,732
$cot45^{0}$ = 1 $cot60^{0}$ = 0,577
2. a, Từ hoạt động 1c điền dấu (>, <, =) thích hợp vào ô trống để được khẳng định đúng với mọi góc nhọn $\alpha $ và giải thích.
Hướng dẫn:
$sin\alpha $ > 0 $cos\alpha $ > 0
$sin\alpha $ < 1 $cos\alpha $ < 1
$tạn\alpha $ = $\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$
$\frac{cos\alpha }{sin\alpha }$ = $cot\alpha $
$sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha $ = 1
b, Trong hình vẽ tam giác vuông của hoạt động 1c, gọi $\beta $ là góc nhọn còn lại
- Em hãy lập các tỉ số lượng giác của góc $\beta $.
- Tìm các cặp tỉ số lượng giác bằng nhau của góc $\alpha $ và $\beta $.
- Từ kết quả thu được, em hãy điền các tỉ số lượng giác thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành liên hệ giữa tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.
Hướng dẫn:
+ Tỉ số lượng giác của góc $\beta $
- $sin\beta =\frac{AC}{BC}$ $cos\beta =\frac{AB}{BC}$
- $tan\beta =\frac{AC}{AB}$ $cot\beta =\frac{AB}{AC}$
+ Các cặp tỉ số lượng giác bằng nhau
- $sin\alpha =cos\beta $ $cos\alpha =sin\beta $
- $tan\alpha =cot\beta $ $cot\alpha =tan\beta $
+ Hoàn thành bảng:
- $sin\alpha =cos(90^{0}-\alpha )$ $cos\alpha =sin(90^{0}-\alpha )$
- $tan\alpha =cot(90^{0}-\alpha )$ $cot\alpha =tan(90^{0}-\alpha )$
c, Từ kết quả của hoạt động 1d và 2b em hãy tìm các tỉ số lượng giác của góc $30^{0}$, từ đó hoàn thành bảng lượng giác của các góc đặc biệt.
Hướng dẫn:
$\alpha $ Tỉ số lượng giác | $30^{0}$ | $45^{0}$ | $60^{0}$ |
| sin $\alpha $ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| cos $\alpha $ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| tan $\alpha $ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ |
| cot $\alpha $ | $\sqrt{3}$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
d, Quan sát bảng thu được sau hoạt động 2c, em có nhận xét gì vè sự tăng, giảm của các tỉ số lượng giác sin $\alpha $, cos $\alpha $, tan $\alpha $, cot $\alpha $ khi góc $\alpha $ tăng?
Nhận xét bảng 2c cũng đúng trong trường hợp $\alpha $ là góc nhọn bất kì. Em hãy điền từ thích hợp vào chỗ chấm để hoàn thành nhận xét
Hướng dẫn:
- Khi góc $\alpha $ tăng thì sin $\alpha $ tăng, cos $\alpha $ giảm, tan $\alpha $ tăng, cot $\alpha $ giảm.
- Khi góc $\alpha $ tăng từ $0^{0}$ đến $90^{0}$ thì:
- sin $\alpha $ và an $\alpha $ tăng.
- cos $\alpha $ và cot $\alpha $ giảm.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho hình 2.4:
a, Em hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.
b, Em hãy nối mỗi ý ở cột I với một ý ở cột II để được hai vế của mộ đẳng thức đúng.
2. a, Sử dụng kết quả của hoạt động 2a, chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha $ tùy ý, ta có
$1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha }$ ; $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha }$
b, Tính các tỉ số lượng giác của góc B, biết rằng cosB = 0,6.
c, Cho $tan\alpha =\frac{1}{2}$. Tính $A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }$ theo ba cách:
Cách 1: Từ $tan\alpha =\frac{1}{2}$, tính các tỉ số $sin\alpha $ và $cos\alpha $ rồi thay vào biểu thức A.
Cách 2: Từ $tan\alpha =\frac{1}{2}$, biểu thị $sin\alpha $ theo $cos\alpha $, thay vào biểu thức A rồi rút gọn.
Cách 3: Biến đổi biểu thức $A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }$ theo $tan\alpha $ rồi thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$.
d, Sử dụng két quả của hoạt động 2a, 2b, tính nhanh các giá trị biểu thức sau:
$A=sin^{2}25^{0}+sin^{2}35^{0}+sin^{2}45^{0}+sin^{2}55^{0}+sin^{2}65^{0}$
$A=cos^{2}25^{0}-cos^{2}35^{0}+cos^{2}45^{0}-cos^{2}55^{0}+cos^{2}65^{0}$
3. a, Không dùng máy tính, điền dấu (>; <; =) thích hợp vào chỗ chấm:
sin15$^{0}$ ........ sin27$^{0}$; sin23$^{0}$15' ................ cos37$^{0}$;
tan50$^{0}$15' ........ tan37$^{0}$; cot72$^{0}$ ................ cot25$^{0}$3';
sin25$^{0}$ ........ cos25$^{0}$; tan55$^{0}$15' ................ cot55$^{0}$;
sin25$^{0}$ ........ co65$^{0}$; cot72$^{0}$ ................ cot18$^{0}$;
b, Sử dụng máy tính bỏ túi tìm các tỉ số lượng giác trong câu a, từ đó kiểm tra két quả câu a.
c, Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
sin15$^{0}$; cos25$^{0}$; sin36$^{0}$; cos50$^{0}$; sin62$^{0}$.
d, Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:
tan25$^{0}$; cot33$^{0}$; tan42$^{0}$; cot64$^{0}$; tan89$^{0}$.
e, Với $\alpha $ là một góc nhọn, hãy so sánh:
sin$\alpha $ và tan$\alpha $; cos$\alpha $ và cot$\alpha $.
4. Hình 2.5 là hình ảnh ngọn hải đăng Tiên Nữ cao 22,1m, được xây dựng vào năm 2000 tại đảo Tiên Nữ thuộc quần đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tình Khành Hòa. Ngoài nhiệm vụ đảm bảo an toàn hàng hải trong khu vực quần đảo, ngọn hải đăng này còn là cột mốc chủ quyền của Tổ quốc trên Biển Đông. Một con tàu nhìn thấy ngọn hải đăng Tiên Nữ theo một góc là $\alpha $ và cách ngọn hải đăng một khoảng là s.
Hình 2.5
a, Em hãy biểu diễn các tỉ số lượng giác tan$\alpha $; cot$\alpha $ theo chiều cao của ngọn hải đăng và khoảng cách từ con tàu đến ngọn hải đăng.
b, Khi $\alpha =1^{0}15'$ thì con tàu cách ngọn hải đăng bao nhiêu mét.
5. Bác An lên kế hoạch xây một ngôi nhà cấp bốn có một mái dốc như hình 2.6. Biết chiều rộng của sàn nhà là 4m, chiều dài của sàn nhà là 7m.
a, Giả sử bức tường phía sau của nhà cao hơn bức tường phía trước là 2,5m.
i. Em hãy tính xem mái nhà dốc bao nhiêu độ.
ii. Bác dự định mua tôn để lợp nhà, hỏ bác cần mua ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn.
b, Trong lúc dự tính chọn mua nguyên vật liệu, bác An được biết rằng để cho mái nhà thoát nước tốt, không bị đọng nước và thấm dột thì với mỗ một chất liệu lợp nhà, mái nhà cần có độ dốc thích hợp. Bác chọn mua mái tôn múi (hình 2.6) và được tư vấn độ dốc mái nhà là 25$^{0}$.
i. Em hãy tính xem bác cần xây bức tường phía sau cao hơn bức tường phía trước bao nhiêu mét?
ii. Bác cần mua ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn loại trên để lợp nhà?
6. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AH, BK, CN.
a, Hãy biểu thị cosA theo hai cách, từ đó chứng minh $\Delta ANK\sim \Delta ACB$
b, Giả sử $\widehat{BAC}=45^{0}$, chứng minh rằng SANK = SBNKC.
c, Tính SANK theo SABC và tỉ số lượng giác của góc BAC, từ đó tính góc BAC trong trường hợp 3.SANK = SBNKC.
d, Chứng minh rằng SNKH = $(1 - cos^{2} A - cos^{2} B - cos^{2} C)$.SABC