Giải câu 2 trang 71 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Giải câu 2 trang 71 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, $1+ta{n}^2\alpha =1+\frac{si{n}^2\alpha }{co{s}^2\alpha }=\frac{co{s}^2\alpha +si{n}^2\alpha }{co{s}^2\alpha }=\frac{1}{co{s}^2\alpha }$

$1+co{t}^2\alpha =1+\frac{co{s}^2\alpha }{si{n}^2\alpha }=\frac{co{s}^2\alpha +si{n}^2\alpha }{si{n}^2\alpha }=\frac{1}{si{n}^2\alpha }$

b, $co{s}^{2}B+si{n}^{2}B=1$

=> sinB = $\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\sqrt{1-0,6^2}=0,8$

$1+ta{n}^{2}B=\frac{1}{co{s}^{2}B}$ => $ta{n}^{2}B=\frac{1}{co{s}^{2}B}-1=\frac{16}{9}$

=> tan B = $\frac{4}{3}$ 

$1+co{t}^{2}B=\frac{1}{si{n}^{2}B}$ => $co{t}^{2}B=\frac{1}{si{n}^{2}B}-1=0,5625$

=> cot B = 0,75

c, Cách 1: Thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$ vào biểu thức $1+ta{n}^2\alpha =\frac{1}{co{s}^2\alpha }$ => $cos\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Mặt khác:

$tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{1}{2}$ => $sin\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$

Thay  $sin\alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ và $cos\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$ vào biểu thức A ta có:

$A=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}}=3$

Cách 2: $tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{1}{2}$ => $2sin\alpha =cos\alpha$

Thay vào A ta có: 

$A=\frac{2sin\alpha +sin\alpha }{2sin\alpha -sin\alpha }=3$

Cách 3: 

$A=\frac{cos\alpha +sin\alpha }{cos\alpha -sin\alpha }=\frac{1+s\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}{1-\frac{sin\alpha }{cos\alpha }}=\frac{1+tan\alpha }{1-tan\alpha }$

Thay $tan\alpha =\frac{1}{2}$ vào ta có:

$A=\frac{1+tan\alpha }{1-tan\alpha }=\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3$

d, Ta có: $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$ và $sin\alpha =cos{90}^0-\alpha$

• $A=si{n}^2{25}^0+si{n}^2{35}^0+si{n}^2{45}^0+si{n}^2{55}^0+si{n}^2{65}^0$

<=> $A=co{s}^2{65}^0+co{s}^2{55}^0+si{n}^2{45}^0+si{n}^2{55}^0+si{n}^2{65}^0$

<=>$A=1+1+si{n}^2{45}^0=2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{5}{2}$ 

• $A=co{s}^2{25}^0-co{s}^2{35}^0+co{s}^2{45}^0-co{s}^2{55}^0+co{s}^2{65}^0$

<=> $A=si{n}^2{65}^0-si{n}^2{55}^0+co{s}^2{45}^0-co{s}^2{55}^0+co{s}^2{65}^0$

<=> $A=1-1+co{s}^2{45}^0={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$