Giải bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 74. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..

1. Các hệ thức

a, Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền bằng a, các cạnh góc vuông bằng b, c (hình 4.1).

Giải phát triển năng lực toán 9 bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

+ Điền vào chỗ chấm để hoàn thành công thức tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

+ Từ các tỉ số trên, em hãy tìm cách biểu diễn mỗi cạnh góc vuông theo

i. Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B, góc C.

ii. Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B, góc C.

Hướng dẫn:

+ Các tỉ số lượng giác:

sinB = cosC = $\frac{AC}{BC}$

cosB = sinC = $\frac{AB}{BC}$

tanB = cotC = $\frac{AC}{AB}$

tanC = cotB = $\frac{AB}{AC}$

+ Biểu diễn cạnh góc vuông:

i, AC = BC.sinB = BC.cosC

  AB = BC.sinC = BC.cosB

ii, AC = AB.tanB = BC.cotC

   AB = AC.tanC = AC.cotB

b, Từ kết quả của hoạt động 1a, em hãy điền vào chỗ chấm để hoàn thành định lí về hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cnahj góc vuông bằng:

  • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề.
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề.

2. Tại một thời điểm trong ngày An thấy:

a, Một cột điện cao 7m có bóng trên mặt đất dài 3m. Tính góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đất (làm tròn đến phút).

b, Cùng lúc đó, một cái cây có bóng trên mặt đất dài 2,5m. Tính chiều cao của cây (đơn vị mét, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Coi độ rộng của chân cột điện với độ nghiêng của cây không đáng kể.

Giải phát triển năng lực toán 9 bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Hướng dẫn:

a, Gọi góc tạo bởi tia sáng mặt trời với mặt đất là $\alpha $.

Ta có: tan$\alpha $ = $\frac{7}{3}$ => $\alpha $ = 66$^{0}$48'

b, Độ cao của cây là:

2,5.tan$\alpha $ = 2,5.$\frac{7}{3}$ = 5,8m

3. a, Em hãy hoàn thành các yêu cầu sau và thảo luận vói bạn cách làm và kết quả.

 Giả thiếtTìm các cạnh, các góc dưới đây
Nội dung 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10cm, $\widehat{C}=30^{0}$.

Giải phát triển năng lực toán 9 bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

$\widehat{B}=?$; AB = ?; BC = ?

Giải:

$\widehat{B}=90^{0}-\widehat{C}=60^{0}$

AB = AC.tan$\widehat{C}$ = 10.tan$30^{0}$ = 5,8 cm.

AC = BC.cos$\widehat{C}$ = 10

=> BC = 11,5 cm

Nội dung 2

Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 18cm, AB = 21cm.

Giải phát triển năng lực toán 9 bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

$\widehat{C}=?$; $\widehat{B}=?$; BC = ?

Giải:

tan$\widehat{C}=\frac{21}{18}$

=> $\widehat{C}=49^{0}23'$

$\widehat{B}=90^{0}-\widehat{C}=40^{0}36'$

BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$

     = $\sqrt{18^{2}+21^{2}}=27,7$ (cm)

b, Từ kết quả của hoạt dộng 3a, em hãy điền vào chỗ chấm để hoàn thành nhận xét sau:

  • Trong một tam giác vuông, nếu biết trước một cạnh và một góc hoặc biết trước hai cạnh của tam giác thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và góc còn lại của tam giác.
  • Bài toán đặt ra như vậy gọi là bài toán "Giải tam giác vuông".

c, Giải tam giác ABC vuông tại A, biết $\widehat{B}=35^{0}$, BC = 20cm

Hướng dẫn:

$\widehat{C}=90^{0}-\widehat{B}=55^{0}$

AC = BC.sinB = 20.sin$35^{0}$ = 11,5 cm

AB = BC.cosB = 20.cos$35^{0}$ = 16,4 cm

B. Bài tập và hướng dẫn giải

1. Điền Đ (đúng), S (sai) một cách thích hợp tương ứng với các khẳng định ở bảng sau. Với những khẳng định sai, em hãy sửa lại thành khẳng định đúng.

 Hình vẽ

 Khẳng định

Đúng/Sai 

Sửa lại 

 Giải câu 1 trang 76 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

 MP = NP.sinN

 

 

 MP = MN.tanP

 

 

 MN = NP.cosP

 

 

 MN = MP.cotN

 

 

 NP = $\frac{MP}{cosN}$

 

 

 NP = $\frac{MN}{sinN}$

 

 

2. Hai bạn Minh và Tú cùng thả diều. Biết dây diều luôn tạo với phương nằm ngang một góc 50$^{0}$ và khoảng cách từ mặt đất đến tay cầm diều của hai bạn là 1,1m (hình 4.5). Giả sử dây diều được căng thẳng.

Giải câu 2 trang 77 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

a, Bạn Minh thấy cuộn dây diều đã thả dài 45m, hỏi diều của bạn Minh lên cao bao nhiêu mét so với mặt đất? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

b, Bạn Tú muốn diều của mình lên cao 30m so với mặt đất thì dây diều phải dài bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

3. Học xong nội dung hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, bạn Bình nói với bạn Nam rằng: sử dụng thước thợ để đo chiều cao của cây ở bài tập 4 (Bài 1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông) phức tạp quá. Để chọn được vị trí mà Nam đứng ngắm là không dễ dàng. Bình nói rằng, có thể đứng tại vị trí bất kì (nhìn thấy ngọn cây) vẫn xác định được chiều cao của cây chỉ bẳng giác kế và thước dây.

Giải câu 3 trang 77 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1

Đứng tại một vị tri Bình đo được số liệu như hình 4.6. Em hãy giải thích xem Bình đã tính được chiều cao của cây bằng cách nào. Chiều cao của cây là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

4. Cho tam giác ABC có BC = 8m, $\widehat{ABC}=45^{0}$; $\widehat{ACB}=80^{0}$

a, Em hãy tính cạnh AB theo ba cách, mỗi cách sử dụng một trong các gợi ý sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Cách 1: Kẻ đường cao CH, tính CH, HB, HA, từ đó tính AB.

Cách 2: Kẻ đường cao BK.

Cách 3: Kẻ đường cao AI.

b, Trong ba cách kẻ thêm đường cao để tính AB, theo em nên chọn cách nào? Vì sao?

c, Em hãy tìm tất cả các góc và cạnh còn lại của tam giác ABC.

5. a, Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH.

i, Tính AH theo các cạnh và các góc của tam giác ABC, từ đó chứng minh SABC = $\frac{1}{2}$BC.BA.sinB

ii, Tương tự câu i, tìm công thức tính diện tích tam giác ABC theo góc C, theo góc A.

iii, Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosC

b, Áp dụng kết quả câu a, em hãy chứng minh bài toán sau:

Cho tam giác MNP vuông tại M, đường phân giác góc NMP cắt NP tại E. Chứng minh: $\frac{\sqrt{2}}{ME}=\frac{1}{MN}+\frac{1}{MP}$

(Gợi ý: Sử dụng SMNP = SMNE + SMEP)