Giải bài 6: Tam giác cân - Sách phát triển năng lực trong môn toán 7 tập 1 trang 131. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
A. LÝ THUYẾT
1. Tam giác cân
a. Em hãy đo và đánh dấu X vào ô trống dưới tam giác mà nó có hai cạnh bằng nhau. Đánh dấu các cạnh bằng nhau đó.
b. Điền vào chỗ chấm để hoàn thành nhận xét sau:
- Tam giác cân là tam giác có ........................................
- Tam giác ABC có ...................... được gọi là tam giác cân tại A.
AB, AC gọi là hai .............................., A gọi là đỉnh, $\widehat{A}$ gọi là ...............................
BC gọi là ...............................................................................
c. Em hãy viết thêm tên các đỉnh của các tam giác cân có ở hoạt động 1.a và hoàn thành bảng dưới đây:
| Tam giác | Cạnh bên | Cạnh đáy | Đỉnh |
d. Dựa vào hoạt động học tập 3 của bài 4, em hãy cho biết nếu tam giác ABC cân tại A thì mối quan hệ giữa góc B và góc C là gì?
Ngược lại, xét tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ thì tam giác ABC có đặc điểm gì? Em hãy chứng minh dựa trên gợi ý của hình 6.3.
Từ đó em hãy hoàn thành bảng nhận xét sau:
- Tính chất 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy ..................... (h.6.4a)
- Tính chất 2: Nếu một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là ..................................
Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau (h.6.4b)
Hướng dẫn:
a.
b.
- Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
- Tam giác ABC có AB = AC được gọi là tam giác cân tại A.
AB, AC gọi là hai cạnh bên, A gọi là đỉnh, $\widehat{A}$ gọi là góc ở đỉnh.
BC gọi là cạnh đáy.
c.
| Tam giác | Cạnh bên | Cạnh đáy | Đỉnh |
| $\Delta ABC$ | AB; AC | BC | A |
| $\Delta MNP$ | MN; PN | PM | N |
| $\Delta DEG$ | DG; EG | DE | G |
d.
+) Nếu tam giác ABC cân tại A thì ta có $\widehat{B}=\widehat{C}$
Chứng minh:
Gọi AD là tia phân giác trong của $\widehat{A}$ suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$
$\Delta ABC$ cân tại A nên có AB = AC.
Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:
- AB = AC
- $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$
- chung cạnh AD
Suy ra $\Delta ABD$ = $\Delta ACD$ (c.g.c). Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta có $\widehat{B}=\widehat{C}$
+) Nếu tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ thì tam giác ABC cân tại A.
Chứng minh:
Gọi AD là tia phân giác trong của $\widehat{A}$ suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (1)
Ta có: $\widehat{BAD} + \widehat{ADB} + \widehat{DBA} = 180^{\circ}$ (tổng 3 góc trong một tam giác) (2)
$\widehat{ADC} + \widehat{DCA} + \widehat{CAD} = 180^{\circ}$ (tổng 3 góc trong một tam giác) (3)
Mà $\widehat{B}=\widehat{C}$ (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$
Xét 2 tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:
- $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$
- Chung cạnh AD
- $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}$
Suy ra $\Delta ABD$ = $\Delta ACD$ (g.c.g). Theo tính chất hai tam giác bằng nhau ta có AB = AC
Vậy tam giác ABC cân tại đỉnh A.
Nhận xét:
- Tính chất 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. (h.6.4a)
- Tính chất 2: Nếu một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
2. Tam giác đều:
a. Đo và đánh dấu "X" vào ô trống dưới tam giác có 3 cạnh bằng nhau. Sử dụng thước đo góc để đo rồi điền số đo các góc thích hợp trên hình vẽ.
b. Xét tam giác ABC cân tại A có một góc bằng 60$^{\circ}$. Em hãy chứng minh tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau theo các trường hợp dưới đây (Gọi ý: Sử dụng tổng ba góc trong một tam giác)
Các tam giác trên là các tam giác đều.
Hướng dẫn:
a.
b.
Tam giác ABC cân tại A nên ta có : $\widehat{B}=\widehat{C}$
Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
Suy ra $\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{A})=\frac{1}{2}(180^{\circ}-60^{\circ})=60^{\circ}$.
Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{C}=60^{\circ}$ nên tam giác ABC cân tại B.
Suy ra AB = BC.
Mà AB = AC. Do đó AB = BC = AC.
Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$
Theo định lí tổng ba góc trong tam giác ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{A} = 180^{\circ} - \widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$
Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{C}=60^{\circ}$ nên tam giác ABC cân tại B.
Suy ra AB = BC.
Mà AB = AC. Do đó AB = BC = AC.
3. Điền vào chỗ chấm để hoàn thành nhận xét sau:
- Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ..........................................................
- Tính chất:
1. Trong một tam giác đều, mỗi góc có số đo ....................................................
2. Nếu một tam giác có ba góc ........................ thì tam giác đó là tam giác đều.
3. Nếu một tam giác cân có một góc ....................... thì tam giác đó là tam giác đều.
Hướng dẫn:
- Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
- Tính chất:
1. Trong một tam giác đều, mỗi góc có số đo bằng $60^{\circ}$.
2. Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
3. Nếu một tam giác cân có một góc bằng $60^{\circ}$ thì tam giác đó là tam giác đều.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Viết tên các tam giác cân trong mỗi hình sau:
2. Dùng thước và compa vẽ tam giác ABC cân tại A, có cạnh đáy bằng 5cm, cạnh bên bằng 6cm.
3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, biết AM $\perp $ BC. Chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.
4. Cho tam giác ABC có CA = CB. Trên hai cạnh CA, CB lấy hai điểm P, Q sao cho AP = BQ. Chứng minh rằng:
a. Tam giác CPQ cân.
b. AQ = BP
5. Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lất điểm E sao cho BD = CE. Kẻ AM vuông góc với BC tại M. Chứng minh rằng:
a. $\Delta AMD$ = $\Delta AME$
b. Tam giác ADE cân.
6. Cho tam giác ABC có AB = AC. Tính các góc của tam giác ABC, biết $\widehat{C}=\frac{1}{2}\widehat{A}$.
7. Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE.
a. Chứng minh rằng : $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$
b. Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tam giác IBC là tam giác gì? Vì sao?
8. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác CJ của góc C ($J\in AB$). Qua J kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại I. Chứng minh rằng BI là phân giác của góc B.
9. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Chứng minh rằng N là trung điểm của AC.