Bài tập 1. Xét dấu của tam thức bậc hai sau:
a. $f(x)=6{{x}^{2}}+41x+44$
b. $g(x)=-3{{x}^{2}}+x-1$
c. $h(x)=9{{x}^{2}}+12x+4$
Hướng dẫn giải:
a. $f(x)=6{{x}^{2}}+41x+44$ có : $\Delta =625$ > 0, hai nghiệm phân biệt là x1 = $\frac{-11}{2}$ và x2 = $\frac{-4}{3}$.
Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:
Vậy f(x) dương trong khoảng ($-\infty$; $\frac{-11}{2}$) $\cup$ ($\frac{-4}{3}$ ; $+\infty$) và âm trong khoảng ($\frac{-11}{2}$ ;$\frac{-4}{3}$).
b. $g(x)=-3{{x}^{2}}+x-1$ có : $g(x)=-{{x}^{2}} +2x-3$ có: $\Delta =-11$ < 0 và a = -3 < 0.
Vậy g(x) âm với mọi $x\in \mathbb{R}$.
c. $h(x)=9{{x}^{2}}+12x+4$ có: $\Delta ={{(12)}^{2}}-4.9.4=0$
$\Rightarrow$ h(x) có nghiệm kép là: ${{x}_{o}}=\frac{-12}{2.9}=\frac{-2}{3}$ và a = 9 > 0
Vậy h(x) dương với mọi $x\ne \frac{-2}{3}$
Bài tập 2. Giải các bất phương trình sau:
a. $7{{x}^{2}}-19x-6\ge 0$
b. $-6{{x}^{2}}+11x>10$
c. $3{{x}^{2}}-4x+7>{{x}^{2}}+2x+1$
d. ${{x}^{2}}-10x+25\le 0$
Hướng dẫn giải:
a. $7{{x}^{2}}-19x-6\ge 0$
Tam thức bậc hai $7{{x}^{2}}-19x-6\ge 0$ có $\Delta =529>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt là: ${{x}_{1}}=3$ và ${{x}_{2}}=\frac{-2}{7}$;
mà a = 7> 0 nên $f(x)$ dương với mọi x thuộc khoảng $\left( -\infty ;\frac{-2}{7} \right),\left( 3;+\infty \right)$.
Vậy bất phương trình $7{{x}^{2}}-19x-6\ge 0$ có tập nghiệm là $\left( -\infty ;\frac{-5}{3} \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$
b. $-6{{x}^{2}}+11x>10$
Tam thức bậc hai $7{{x}^{2}}-19x-6\ge 0$ có $\Delta =-119<0$; a = -6 < 0 nên $f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy bất phương trình $-6{{x}^{2}}+11x>10$ vô nghiệm.
c. $3{{x}^{2}}-4x+7>{{x}^{2}}+2x+1$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-6x+6>0$
Tam thức bậc hai trên có: ${{\Delta }^{'}}={{(-3)}^{2}}-2.6=-3<0;a=2>0$ nên $f(x)>0\forall x\in \mathbb{R}$.
Vậy bất phương trình $3{{x}^{2}}-4x+7>{{x}^{2}}+2x+1$ vô nghiệm
d. ${{x}^{2}}-10x+25\le 0$
$\Leftrightarrow {{(x-5)}^{2}}\le 0$
Có ${{(x-5)}^{2}}\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow$ $x-5\ne 0\Leftrightarrow x\ne 5$
Vậy bất phương trình ${{x}^{2}}-10x+25\le 0$ có nghiệm $x\in \mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }5\}$.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 3. Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai được cho, hãy giải các bất phương trình sau:
a. ${{x}^{2}}-0,5x-5\le 0$
b. $-2{{x}^{2}}+x-1>0$
Bài tập 4. Giải các phương trình sau:
a. $\sqrt{{{x}^{2}}-7x}=\sqrt{-9{{x}^{2}}-8x+3}$
b. $\sqrt{{{x}^{2}}+x+8}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}=0$
c. $\sqrt{4{{x}^{2}}+x-1}=x+1$
d. $\sqrt{2{{x}^{2}}-10x-29}=\sqrt{x-8}$
Bài tập 5. Một tam giác vuông có một cạnh góc vuông ngắn hơn cạnh huyền 8 cm. Tính độ dài của cạnh huyền, biết chu vi tam giác bằng 30 cm.
Bài tập 6. Một quả bóng được bắn thẳng lên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 30m/s. Khoảng cách của bóng so với mặt đất sau t giây được cho bởi hàm số:
$h(t)=-4,9{{t}^{2}}+30t+2$
với h(t) tính bằng đơn vị mét. Hỏi quả bóng nằm ở độ cao trên 40m trong thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Bài tập 7. Một chú cá heo nhảy lên khỏi mặt nước. Độ cao h (mét) của chú cá heo so với mặt nước sau t giây được cho bởi hàm số.
$h(t)=-4,9{{t}^{2}}+9,6t$
Tính khoảng thời gian cá heo ở trên không.
Bài tập 8. Lợi nhuận một tháng p(x) của một quán ăn phụ thuộc vào giá trị trung bình x của các món ăn theo công thức $p(x)=-30{{x}^{2}}+2100x-15000$, với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng nào?
Bài tập 9. Quỹ đạo của một quả bóng được mô tả bằng hàm số:
$y=f(x)=-0,03{{x}^{2}}+0,4x+1,5$
với y (tính bằng mét) là độ cao của quả bóng so với mặt đất khi độ dịch chuyển theo phương ngang của bóng là x (tính bằng mét). Để quả bóng có thể ném được qua lưới cao 2m, người ném phải đứng cách lưới bao xa? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.