Giải bài tập cuối chương VII trang 18

Bài tập 1. Xét dấu của tam thức bậc hai sau:

a. $f(x)=6x^2+41x+44$

b. $g(x)=-3x^2+x-1$

c. $h(x)=9x^2+12x+4$

Hướng dẫn giải:

a. $f(x)=6x^2+41x+44$ có : $\mathrm{\Delta }=625$ > 0, hai nghiệm phân biệt là  x₁ = $\frac{-11}{2}$ và x₂ = $\frac{-4}{3}$.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong khoảng ($-\mathrm{\infty }$;  $\frac{-11}{2}$) $\cup$ ($\frac{-4}{3}$ ; $+\mathrm{\infty }$) và âm trong khoảng ($\frac{-11}{2}$ ;$\frac{-4}{3}$). 

b. $g(x)=-3x^2+x-1$ có : $g(x)=-x^2+2x-3$ có: $\mathrm{\Delta }=-11$ < 0 và a = -3 < 0.

Vậy g(x) âm với mọi $x\in \mathbb{R}$.

c. $h(x)=9x^2+12x+4$ có: $\mathrm{\Delta }={(12)}^2-4.9.4=0$ 

$\Rightarrow$ h(x) có nghiệm kép là: $x_o=\frac{-12}{2.9}=\frac{-2}{3}$ và a = 9 > 0

Vậy h(x) dương với mọi $x\ne \frac{-2}{3}$

Bài tập 2. Giải các bất phương trình sau:

a. $7x^2-19x-6\ge 0$

b. $-6x^2+11x>10$

c. $3x^2-4x+7>x^2+2x+1$

d. $x^2-10x+25\le 0$

Hướng dẫn giải:

a. $7x^2-19x-6\ge 0$

Tam thức bậc hai $7x^2-19x-6\ge 0$ có $\mathrm{\Delta }=529>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=3$ và $x_2=\frac{-2}{7}$;

mà a = 7> 0 nên $f(x)$ dương với mọi x thuộc khoảng $(-\mathrm{\infty };\frac{-2}{7}),(3;+\mathrm{\infty })$.

Vậy bất phương trình $7x^2-19x-6\ge 0$ có tập nghiệm là $(-\mathrm{\infty };\frac{-5}{3})\cup (3;+\mathrm{\infty })$

b. $-6x^2+11x>10$ 

Tam thức bậc hai $7x^2-19x-6\ge 0$ có $\mathrm{\Delta }=-119<0$; a = -6 < 0 nên $f(x)<0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Vậy bất phương trình $-6x^2+11x>10$ vô nghiệm.

c. $3x^2-4x+7>x^2+2x+1$

$\iff 2x^2-6x+6>0$

Tam thức bậc hai trên có: ${\mathrm{\Delta }}^{{}^{\prime }}={(-3)}^2-2.6=-3<0;a=2>0$ nên $f(x)>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Vậy bất phương trình $3x^2-4x+7>x^2+2x+1$ vô nghiệm

d. $x^2-10x+25\le 0$ 

$\iff {(x-5)}^2\le 0$

Có ${(x-5)}^2\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ 

$\iff$ $x-5\ne 0\iff x\ne 5$

Vậy bất phương trình $x^2-10x+25\le 0$ có nghiệm $x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{5\}$.