Giải bài 5 Phương trình đường tròn

LT-VD 1: Viết phương trình đường tròn tâm I(6;-4) đi qua điểm A(8;-7).

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{IA}\left( 2;-3 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{IA} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}}=\sqrt{13}$

Phương trình đường tròn tâm I(6;-4) bán kính IA là:

${{\left( x-6 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}=13$

LT-VD 2: Tìm k sao cho phương trình: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2kx+4y+6k-1=0$ là phương trình đường tròn.

Hướng dẫn giải:

$\begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2kx+4y+6k-1=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+2kx+{{k}^{2}}+{{y}^{2}}+4y+4={{k}^{2}}-6k+5 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x+k \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{{{k}^{2}}-6k+5} \right)}^{2}} \\\end{align}$

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn 

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& k>5 \\ & k<1 \\\end{align} \right.$

LT-VD 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1;2); B(5;2); C(1;-3)

Hướng dẫn giải:

Giả sử tâm đường tròn là I(a;b). Ta có IA = IB = IC $\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}=I{{C}^{2}}$

$\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}},I{{B}^{2}}=I{{C}^{2}}$ nên:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}={{\left( 5-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}} \\ & {{\left( 5-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}={{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( -3-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1-2a+{{a}^{2}}=25-10a+{{a}^{2}} \\& {{\left( 5-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}={{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( -3-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\& {{\left( 5-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}={{\left( 1-3 \right)}^{2}}+{{\left( -3-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\ & {{\left( 2-b \right)}^{2}}={{\left( -3-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=3 \\& b=\frac{-1}{2} \\\end{align} \right.$

Đường tròn tâm I(3;$\frac{-1}{2}$), bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2-\frac{-1}{2}\right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{41}}{4}$

Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{41}{4}$

LT-VD 4: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M_o(-1;-4) thuộc đường tròn: 

${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+7 \right)}^{2}}=25$

Hướng dẫn giải:

Đường tròn có tâm I(3;-7). Phương trình tiếp tuyến tại điểm ${{M}_{o}}\left( -1;-4 \right)$ thuộc đường tròn ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+7 \right)}^{2}}=25$ là: 

(-1-3)(x+1) + (-4+7)(y+4)=0

$\Leftrightarrow$ -4x - 4 + 3y + 12=0

$\Leftrightarrow$ -4x + 3y + 8 = 0