$\Delta $: 3x+4y+m=0; (C): ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4$
Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 2.
Vì $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn
$\Rightarrow$ $d(I;\Delta )=R$
$\Leftrightarrow \frac{\left| 3.(-1)+4.2+m \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=2$
$\Leftrightarrow \frac{\left| m+5 \right|}{5}=2$
$\Leftrightarrow \left| m+5 \right|=10$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m+5=10 \\ & m+5=-10 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=5 \\ & m=-15 \\\end{align} \right.$