Giải bài 1 Mệnh đề toán học

I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC

LT-VD 1: Nêu hai ví dụ về mệnh đề toán học.

Hướng dẫn giải: 

• Ví dụ 1: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{\circ}$
• Ví dụ 2: Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

LT-VD 2: Nêu ví dụ về một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải: 

Lấy các ví dụ về mệnh đề đúng, mệnh đề sai:

• Mệnh đề đúng: Góc nhọn là góc có số đo lớn hơn $0^{\circ}$ và nhỏ hơn  $90^{\circ}$
• Mệnh đề sai: 0 là hợp số.

II. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

LT-VD 3: Nêu ví dụ về mệnh đề chứa biến.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ mệnh đề chứa biến: P(n): "2n là một số không âm".

III. PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ

LT-VD 4: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

• P: "5,15 là một số hữu tỉ";
• Q: "2023 là số chẵn".

Hướng dẫn giải:

• $\bar{P}$: "5,15 không phải là một số hữu tỉ" và $\bar{P}$ sai.
• $\bar{Q}$: "2023 là số lẻ" và $\bar{Q}$ đúng.

IV. MỆNH ĐỀ KÉO THEO

LT-VD 5: Hãy phát biểu một định lí toán học ở dạng mệnh đề kéo theo P $\Rightarrow$ Q

Hướng dẫn giải:

P: "Ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng";

Q: "Ba điểm A, B, C thẳng hàng".

P $\Rightarrow$ Q: "Nếu ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường thẳng thì ba điểm A, B, C thẳng hàng". 

V. MỆNH ĐỀ ĐẢO. HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG

LT-VD 6: Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: "Tam giác ABC đều",

Q: "Tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$", hãy phát biểu hai mệnh đề P $\Rightarrow$ Q và Q $\Rightarrow$ P và xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Hướng dẫn giải:

P $\Rightarrow$ Q: "Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$". Mệnh đề đúng.

Q $\Rightarrow$ P: "Nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$ thì tam giác ABC đều". Mệnh đề đúng.

Mệnh đề tương đương: (sử dụng một trong số các cách sau)

• "Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$"
• "Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$"
• "Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$"
• "Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng $60^{\circ}$"

VI. KÍ HIỆU $\forall$ VÀ $\exists$ 

LT-VD 7: Phát biểu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tồn tại số nguyên chia hết cho 3;

b) Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số.

Hướng dẫn giải:

a) Phủ định của mệnh đề " $\exists$ $x$ $\in$ $\mathbb{Z}$, $x$ chia hết cho 3" là mệnh đề " $\forall$ $x$ $\in$ $\mathbb{Z}$, $x$ không chia hết cho 3".

b) Phủ định của mệnh đề "Mọi số thập phân đều viết được dưới dạng phân số" là mệnh đề "Tồn tại số thập phân không viết được dưới dạng phân số".