a. Đường tròn có tâm O(-3;4) và bán kính R = 9 có phương trình là: ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=81$
b. Đường tròn có tâm I(5;-2) và đi qua điểm M(4;-1)$\Rightarrow$ có bán kính $MI=\sqrt{{{(4-5)}^{2}}+{{(-1+2)}^{2}}}=\sqrt{2}$
$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=2$
c. Đường tròn có tâm I(1;-1) và có một tiếp tuyến là $\Delta :5x-12y-1=0$
$\Rightarrow$ Đường tròn có bán kính R = d(I; $\Delta$)
$R=d(I;\Delta )=\frac{\left| 5.1-12.(-1)-1 \right|}{\sqrt{{{5}^{2}}+{{(-12)}^{2}}}}=\frac{16}{13}$
$\Rightarrow$ Phương trình của đường tròn là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=\frac{256}{169}$.
d. Đường tròn đường kính AB với A(3;-4) và B(-1;6) đi qua tâm I là trung điểm của AB
$\Rightarrow$I(1;1) và có bán kính R=$\frac{AB}{2}$
Có: $\overrightarrow{AB}=\left( -4;10 \right)$ => $AB=\sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{10}^{2}}}=2\sqrt{29}$ $\Rightarrow$ R = $\sqrt{29}$
$\Rightarrow$ Đường tròn có phương trình là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=29$
e. Đường tròn đi qua ba điểm A(1;1); B(3;1); C(0;4)
Giả sử tâm đường tròn là I(a;b). Ta có IA = IB = IC $\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}=I{{C}^{2}}$
$\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}},I{{B}^{2}}=I{{C}^{2}}$ nên:
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}={{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}} \\ & {{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}={{\left( 0-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1-2a+{{a}^{2}}=25-10a+{{a}^{2}} \\& {{\left( 5-a \right)}^{2}}+{{\left( 2-b \right)}^{2}}={{\left( 1-a \right)}^{2}}+{{\left( -3-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1-2a+{{a}^{2}}=9-6a+{{a}^{2}} \\ & {{\left( 3-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}={{\left( 0-a \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=2 \\ & {{\left( 3-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-b \right)}^{2}}={{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=2 \\ & 1+1-2b+{{b}^{2}}=4+16-8b+{{b}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& a=2 \\& b=3 \\\end{align} \right.$
Đường tròn tâm I(2;3), bán kính $R=IC=\sqrt{{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}$
Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5$