Hàm số lượng giác có tính được đạo hàm hay không? Để biết chi tiết hơn, Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác. Với kiến thức trọng tâm và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các bạn học tập tốt hơn..
Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
1. Giới hạn của \(\frac{sin \,x}{x}\)
ĐỊNH LÍ 1
\(\underset{x\rightarrow 0 }{lim }\frac{sin \,x}{x} = 1\)
2. Đạo hàm của hàm số \(y=sin \,x\)
ĐỊNH LÍ 2
Hàm số $y=sin\,x$có đạo hàm tại mọi $x\in \mathbb{R}$và $(sin\,x)’=cos\,x$
Chú ý : Nếu \(y=sin\,u\)và \(u=u(x)\)thì \((sin\,u)’=u’.cos\,u\)
3. Đạo hàm của hàm số \(y=cos\,x\)
ĐỊNH LÍ 3
Hàm số $y=cos\,x$có đạo hàm tại mọi $x\in \mathbb{R}$và $(cos\,x)’=-sin\,x$
Chú ý : Nếu \(y=cos\,u\)và \(u=u(x)\)thì \((cos\,u)’=-u’.sin\,u\)
4. Đạo hàm của hàm số \(y=tan\,x\)
ĐỊNH LÍ 4
Hàm số \(y=tan\,x\)có đạo hàm tại mọi \(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{R}\)và \(\left ( tan\,x \right )'=\frac{1}{cos^2x}\)
Chú ý: Nếu \(y=tan\,u\)và \(u=u(x)\)thì ta có \(\left ( tan\,u \right )'=\frac{u’}{cos^2u}\)
5. Đạo hàm của hàm số \(y=cot\,x\)
ĐỊNH LÍ 5
Hàm số \(y=tan\,x\)có đạo hàm tại mọi \(x\neq k\pi, k\in \mathbb{R}\)và \(\left ( cot\,x \right )'=-\frac{1}{sin^2x}\)
Chú ý: Nếu \(y=cot\,u\)và \(u=u(x)\)thì ta có \(\left ( cot\,u \right )'=-\frac{u’}{sin^2u}\)
BẢNG ĐẠO HÀM
| \((x^n)’=nx^{n-1}\) | \((u^n)’=nu^{n-1}.u’\) |
| \(\left ( \frac{1}{x} \right )’=-\frac{1}{x^2}\) | \(\left ( \frac{1}{u} \right )’=-\frac{u’}{u^2}\) |
| \((\sqrt{x})’=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) | \((\sqrt{u})’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}\) |
| \((sin\,x)’=cos\,x\) | \((sin\,u)’=u’.cos\,u\) |
| \((cos\,x)’=-sin\,x\) | \((cos\,u)’=-u’.sin\,u\) |
| \(\left ( tan\,x \right )'=\frac{1}{cos^2x}\) | \(\left ( tan\,u \right )'=\frac{u’}{cos^2u}\) |
| \(\left ( cot\,x \right )'=-\frac{1}{sin^2x}\) | \(\left ( cot\,u \right )'=-\frac{u’}{sin^2u}\) |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: trang 168 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{x-1}{5x-2}\)
b) \(y = \frac{2x+3}{7-3x}\)
c) \(y = \frac{x^{2}+2x+3}{3-4x}\)
d) \(y = \frac{x^{2}+7x+3}{x^{2}-3x}\)
Câu 2: trang 168 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải các bất phương trình sau:
a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)
b) \(y'≥0\) với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\)
c) \(y'>0\) với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)
Câu 3: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 5sinx -3cosx\)
b) \( y=\frac{sinx+cosx}{sinx-cosx}\)
c) \(y = x cotx\)
d) \(y = \frac{sinx}{x}+\frac{x}{sinx}\)
e) \(y = \sqrt{(1 +2tan x)}\)
f) \(y = sin\sqrt{(1 +x^2)}\)
Câu 4: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = \left( {9 - 2x} \right)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)\)
b) \(y = \left ( 6\sqrt{x} -\frac{1}{x^{2}}\right )(7x -3)\)
c) \(y = (x -2)\sqrt{(x^2+1)}\)
d) \(y = tan^2x +cotx^2\)
e) \(y = cos\frac{x}{1+x}\)
Câu 5: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính \( \frac{f'(1)}{\varphi '(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\)
Câu 6: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):
a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)
b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )+{\cos ^2} \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)
Câu 7: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\)
b) \(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\)
Câu 8: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:
a) \(f(x) = x^3+ x - \sqrt2\,g(x) = 3x^2+ x + \sqrt2\)
b) \(f(x) = 2x^3- x^2+ \sqrt3,g(x) = x^3+ \frac{x^{2}}{2} - \sqrt 3\)