Giải câu 6 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Giải câu 6 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác.

a) ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x+3{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x$

Ta có:

$(3{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x{)}^{\prime }=3.(si{n}^{2}x{)}^{\prime }.co{s}^{2}x+3.si{n}^{2}x(co{s}^{2}x{)}^{\prime }$

$=3.co{s}^{2}x.2.sinx(sinx{)}^{\prime }+3.si{n}^{2}x.2.cosx.(cosx{)}^{\prime }$

$=6.co{s}^{2}x.sinx.cosx+6.si{n}^{2}x.cosx.(-sinx)$

$=6.co{s}^{3}x.sinx-6.si{n}^{3}x.cosx$

$y^{\prime }=6{\sin }^{5}x.\cos x-6{\cos }^{5}x.\sin x+6\sin x.{\cos }^{3}x-6{\sin }^{3}x.\cos x$

$=6{\sin }^{3}x.\cos x({\sin }^{2}x-1)+6\sin x.{\cos }^{3}x(1-{\cos }^{2}x)$

$=6{\sin }^{3}x.\cos x.co{s}^{2}x+6\sin x.{\cos }^{3}x.si{n}^{2}x$

$=-6{\sin }^{3}x.{\cos }^{3}x+6{\sin }^{3}x.{\cos }^{3}x=0$.

Vậy $y^{\prime }=0$với mọi $x$,tức là $y^{\prime }$không phụ thuộc vào $x$.

 b) ${\cos }^2(\frac{\pi }{3}-x)+{\cos }^2(\frac{\pi }{3}+x)+{\cos }^2(\frac{2\pi }{3}-x)+{\cos }^2(\frac{2\pi }{3}+x)-2{\sin }^{2}x$

$y^{\prime }=2cos(\frac{\pi }{3}-x).sin(\frac{\pi }{3}-x)$

     $-2cos(\frac{\pi }{3}+x).sin(\frac{\pi }{3}+x)$

     $+2cos(\frac{2\pi }{3}-x).sin(\frac{2\pi }{3}-x)$

     $-2cos(\frac{2\pi }{3}+x).sin(\frac{2\pi }{3}+x)-4sinxcosx$

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

$y^{\prime }=\sin (\frac{2\pi }{3}-2x)-\sin (\frac{2\pi }{3}+2x)+\sin (\frac{4\pi }{3}-2x)-\sin (\frac{4\pi }{3}+2x)-2\sin 2x$

$=-2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin 2x-2\cos \frac{4\pi }{3}.\sin 2x-2\sin 2x$

$=\sin 2x+\sin 2x-2\sin 2x$

$=sin2x(1+1-2)=0$

Vậy $y^{\prime }=0$ với mọi $x$, do đó $y^{\prime }$ không phụ thuộc vào $x$.