Giải bài 2 Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

KHỞI ĐỘNG

Tìm các giác trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.

Hướng dẫn giải:

• Đường thẳng 1: a = 2; b = -1; c = 3
• Đường thẳng 2: a = -1; b = -1; c = 1
• Đường thẳng 3: a = 0; b = -1; c = -3
• Đường thẳng 4: a = 1; b = 0; c = 2

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

Khám phá 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0=(x_0;y_0)$ và cho hai vectơ $\overrightarrow{n}$ = (a; b) và $\overrightarrow{u}$ = (b; -a) khác vectơ-không. Cho biết $\overrightarrow{u}$ có giá song song hoặc trùng với $\mathrm{\Delta }$.

a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{u}$ và nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{u}$.

b. Gọi M(x; y) là điểm di động trên $\mathrm{\Delta }$. Chứng tỏ rằng vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$.

Hướng dẫn giải:

a. $\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{u}$ = a.b + b.(-a) = 0 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{n}$ $\perp$ $\overrightarrow{u}$.

b. Vì M, $M_0$ thuộc đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nên $\overrightarrow{M_{0}M}$ chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$. Suy ra, vectơ $\overrightarrow{M_{0}M}$ luôn cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$ và luôn vuông góc với vectơ $\overrightarrow{n}$.

Phương trình tham số của đường thẳng

Khám phá 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u}$ = ($u_1$; $u_2$)  làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc $\mathrm{\Delta }$, tìm tọa độ của M theo tọa độ của $M_0$ và $\overrightarrow{u}$.

Hướng dẫn giải:

Tọa độ điểm M là: $\{\begin{array}{c}x=x_0+t{u}_1\\ y=y_0+t{u}_2\end{array}$

Thực hành 1:

a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận $\overrightarrow{v}$ = (8; -4) làm vectơ chỉ phương.

b. Tìm tọa độ điểm P trên $\mathrm{\Delta }$, biết P có tung độ bằng 1.

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{c}x=-9+8t\\ y=5-4t\end{array}$

b. Thay y = 1 vào phương trình y = 5 - 4t, ta được: 1 = 5 - 4t $\Rightarrow$ t = 1

Thay t = 1 vào phương trình x = -9 + 8t, ta được: x = -9 + 8. 1 = -1

Vậy P = (-1; 1)

Vận dụng 1: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đề từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (40; 30).

a. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô.

b. Tìm tọa độ của xe ứng với t = 2; t = 4.

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\{\begin{array}{c}x=1+40t\\ y=1+30t\end{array}$

b. Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là: $\{\begin{array}{c}x=1+40.2\\ y=1+30.2\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}x=81\\ y=61\end{array}$

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là: $\{\begin{array}{c}x=1+40.4\\ y=1+30.4\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}x=161\\ y=121\end{array}$

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Khám phá 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}$ = (a; b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc $\mathrm{\Delta }$, chứng tỏ rằng điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình:

$ax+by+c=0$ (với c = -a$x_0$ - b$y_0$)

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{n}$ = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{u}$ = (b; -a).

Khi đó, tọa độ của điểm M là: $\{\begin{array}{c}x=x_0+bt\\ y=y_0-at\end{array}$

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ax + by + c = 0, ta được:

a($x_0$ + bt) + b($y_0$ - at) - a$x_0$ - b$y_0$ = 0 $\iff$ a$x_0$ + abt + b$y_0$ - abt - a$x_0$ - b$y_0$ = 0 $\iff$ 0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - a$x_0$ - b$y_0$).

Thực hành 2: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5);

b. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; - 7)

c. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3)

Hướng dẫn giải:

a. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (5; -3).

Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{c}x=1+5t\\ y=1-3t\end{array}$

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là: 3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 $\iff$ 3x + 5y - 8 = 0

b. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua O(0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; -7) nên ta có phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=-7t\end{array}$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (2; -7) nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (7; 2).

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là: 7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 $\iff$ 7x + 2y = 0

c. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{MN}$ = (-4; 3) và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (3; 4)

Phương trình tham số của $\mathrm{\Delta }$ là: $\{\begin{array}{c}x=4-4t\\ y=3t\end{array}$

Phương trình tổng quát của $\mathrm{\Delta }$ là: 3(x - 4) + 4(y - 0) = 0 $\iff$ 3x + 4y - 12 = 0

Vận dụng 2: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ = (3; -4).

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ biểu diễn đường đi của điểm M.

b. Tìm tọa độ của điểm M khi $\mathrm{\Delta }$ cắt trục hoành.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có $\overrightarrow{v}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{n}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 $\iff$ 4x + 3y - 10 = 0

b. Tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và trục hoành: 

Ta có: $\{\begin{array}{c}4x_M+3y_M-10=0\\ y_M=0\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{5}{2}\\ y_M=0\end{array}$

Vậy M = ($\frac{5}{2}$; 0)

Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

Thực hành 3: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong Thực hành 2

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: 3x + 5y - 8 = 0 $\iff$ y = $-\frac{3}{5}$x + $\frac{8}{5}$

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của $\mathrm{\Delta }$ là: y =  $-\frac{3}{5}$x + $\frac{8}{5}$

b. Ta có: 7x + 2y = 0 $\iff$ y = $-\frac{7}{2}$x

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của $\mathrm{\Delta }$ là: y = $-\frac{7}{2}$x

c. Ta có: 3x + 4y - 12= 0 $\iff$ y = $-\frac{3}{4}$x + 3

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của $\mathrm{\Delta }$ là: y = $-\frac{3}{4}$x + 3

Vận dụng 3: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là $2m^3$/h vào một cái bể đã chứa sẵn $5m^3$ nước.

a. Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.

b. Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.

c. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quả của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

a. $y=2x+5$

b. Đồ thị d của hàm số $y=2x+5$ đi qua hai điểm A($-\frac{5}{2}$; 0) và B(0; 5).

c. Ta có: $y=2x+5$ $\iff$ $2x-y+5=0$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của đường thẳng d là $2x-y+5=0$.

Ta có d nhận $\overrightarrow{n}$ = (2; -1) là vectơ pháp tuyến nên $\overrightarrow{u}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận $\overrightarrow{u}$ = (1; 2) là vectơ chỉ phương là: $\{\begin{array}{c}x=t=0\\ y=5+2t\end{array}$

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Khám phá 4: Cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$.

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ trong các trường hợp sau:

a. $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ cùng phương (Hình 5a, b);

b. $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương (Hình 5c, d);

c. $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ vuông góc (Hình 5d)

Hướng dẫn giải:

a. ${\mathrm{\Delta }}_1$ song song hoặc trùng với ${\mathrm{\Delta }}_2$.

b. ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ cắt nhau.

c.  ${\mathrm{\Delta }}_1$ vuông góc với ${\mathrm{\Delta }}_2$.

Thực hành 4: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trong các trường hợp sau:

a. $d_1$: x - 5y + 9 = 0 và $d_2$: 10x + 2y + 7 = 10;

b. $d_1$: 3x - 4y + 9 = 0 và $d_2$: $\{\begin{array}{c}x=1+4t\\ y=1+3t\end{array}$

c. $d_1$: $\{\begin{array}{c}x=5+4t\\ y=4+3t\end{array}$ và $d_2$: $\{\begin{array}{c}x=1+8t^{\prime }\\ y=1+6t^{\prime }\end{array}$

Hướng dẫn giải:

a. Đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (1; -5) và $\overrightarrow{n_2}$ = (10; 2).

Ta có: $\overrightarrow{n_1}$. $\overrightarrow{n_2}$ = 1. 10 + (-5). 2 = 0 nên $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ vuông góc, suy ra $d_1$ $\perp$ $d_2$.

Giải hệ phương trình: $\{\begin{array}{c}x-5y+9=0\\ 10x+2y+7=10\end{array}$

$\iff$ $\{\begin{array}{c}x=-\frac{3}{52}\\ y=\frac{93}{52}\end{array}$

Vậy ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ vuông góc và cắt nhau tại M($-\frac{3}{52}$; $\frac{93}{52}$).

b. Ta có: $\overrightarrow{n_1}$ = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$.

$\overrightarrow{u_2}$ = (4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_2$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{n_2}$ = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_2$.

Ta có: $\frac{3}{3}$ = $\frac{-4}{-4}$ suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy $d_1$ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc $d_2$, thay tọa độ của M và phương trình $d_1$, ta được: 3. 1 - 4. 1 + 9 $\ne$ 0.

Vậy $d_1$ // $d_2$.

c. $d_1$ và $d_2$ có phương trình tổng quát lần lượt là: 3x - 4y + 1 = 0 và 6x - 8y + 2 = 0, có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ = (3; -4) và $\overrightarrow{n_2}$ = (6; -8).

Ta có: $\frac{3}{6}$ = $\frac{-4}{-8}$ suy ra $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ là hai vectơ cùng phương. Vậy $d_1$ song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc $d_2$, thay tọa độ của M và phương trình $d_1$, ta được: 3. 1 - 4. 1 + 1 = 0.

Vậy $d_1$ $\equiv$ $d_2$.

Vận dụng 4: Viết phương trình đường thẳng $d_1$:

a. Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng $d_2$: x + 3y + 2 = 0;

b. Đi qua điểm B(4; - 1) và vuông góc với đường thẳng $d_3$: 3x - y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

a. Vì $d_1$ song song với $d_2$: x + 3y + 2 = 0 nên $d_1$ nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng $d_1$ đi qua điểm A(2; 3) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 2) + 3(y - 3) = 0 $\iff$ x + 3y - 11 = 0

b. Vì $d_1$ vuông góc với $d_3$: 3x - y + 1 = 0 nên $d_1$ nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng $d_1$ đi qua điểm B(4; -1) và nhận $\overrightarrow{n}$ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 4) + 3(y  + 1) = 0 $\iff$ x + 3y - 1 = 0

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Khám phá 5: Cho hai đường thẳng xy và zt cắt nhau tại O và cho biết $\widehat{xOz}$ = ${38}^{\circ }$ (Hình 6).

Tính số đo các góc $\widehat{xOt}$, $\widehat{tOy}$ và $\widehat{yOz}$.

Hướng dẫn giải:

$\widehat{tOy}$ = $\widehat{xOz}$ = ${38}^{\circ }$

$\widehat{xOt}$ = $\widehat{yOz}$ = ${180}^{\circ }$ - ${38}^{\circ }$ = ${142}^{\circ }$

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Khám phá 6: Cho hai đường thẳng

${\mathrm{\Delta }}_1$: $a_1$x + $b_1$y + $c_1$ = 0 ($a_1^2$ + $b_1^2$ > 0) và ${\mathrm{\Delta }}_2$: $a_2$x + $b_2$y + $c_2$ = 0 ($a_2^2$ + $b_2^2$ > 0)

có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$.

Tìm tọa độ của $\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$ và tính cos($\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$).

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{n_1}$ = ($a_1$; $b_1$), $\overrightarrow{n_2}$ = ($a_2$; $b_2$).

cos($\overrightarrow{n_1}$, $\overrightarrow{n_2}$) = $\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|.|\overrightarrow{n_2}|}$ = $\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Thực hành 5: Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ trong các trường hợp sau:

a. ${\mathrm{\Delta }}_1$: x + 3y - 7 = 0 và ${\mathrm{\Delta }}_2$: x - 2y + 3 = 0

b. ${\mathrm{\Delta }}_1$: 4x - 2y + 5 = 0 và ${\mathrm{\Delta }}_2$: $\{\begin{array}{c}x=t\\ y=13+2t\end{array}$

c. ${\mathrm{\Delta }}_1$: $\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=3+2t\end{array}$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$: $\{\begin{array}{c}x=-7+2t^{\prime }\\ y=1-t^{\prime }\end{array}$

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: cos(${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$) = $\frac{|1.1+3.(-2)}{\sqrt{1^2+3^2}.\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow$ (${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$) = ${45}^{\circ }$.

b. Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ nhận $\overrightarrow{n_1}$ = (4; -2) là vectơ pháp tuyến $\Rightarrow$ $\overrightarrow{u_2}$ = (2; 4) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_2$ nhận vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}$ = (1; 2).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$ = 2$\overrightarrow{u_2}$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{u_1}$ // $\overrightarrow{u_2}$ $\Rightarrow$ (${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$) = $0^{\circ }$

c. Hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 2) và $\overrightarrow{u_2}$ = (2; -1).

Ta có: $\overrightarrow{u_1}$. $\overrightarrow{u_2}$ = 1. 2 + 2. (-1) = 0 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{u_1}$ $\perp$ $\overrightarrow{u_2}$. Do đó, (${\mathrm{\Delta }}_1$, ${\mathrm{\Delta }}_2$) = ${90}^{\circ }$

Vận dụng 5: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng là đồ thị của hàm số y = x và y = 2x + 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: y = x $\iff$ x - y  = 0; y = 2x + 1 $\iff$ 2x - y + 1 = 0

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là $d_1$: x - y = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là $d_2$: 2x - y + 1 = 0

cos($d_1$, $d_2$) = $\frac{|1.2+(-1).(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}.\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}$ = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\Rightarrow$ ($d_1$, $d_2$) = ${18}^{\circ }{26}^{\prime }$

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Khám phá 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: ax + by + c = 0 ($a^2$ + $b^2$) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và cho điểm $M_0(x_0;y_0)$ có hình chiếu vuông góc H($x_H,y_H$) trên $\mathrm{\Delta }$ (Hình 9).

a. Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương và tìm tọa độ của chúng.

b. Gọi p là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$. Chứng minh rằng p = $a{x}_0$ + $b{y}_0$ + c.

c. Giải thích công thức |$\overrightarrow{H{M}_0}$| = $\frac{|p|}{|\overrightarrow{n}|}$.

Hướng dẫn giải:

a. $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$: ax + by + c = 0 nên $\overrightarrow{n}$ $\mathrm{\Delta }$   (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống $\mathrm{\Delta }$ nên MH $\perp$ $\mathrm{\Delta }$     (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương.

Ta có: $\overrightarrow{n}$ = (a; b), $\overrightarrow{H{M}_0}$ = ($x_0-x_H;y_0-y_H$)

b. Vì H $\in$ $\mathrm{\Delta }$ nên $a{x}_H+b{y}_H+c=0$ $\Rightarrow$ c = $-a{x}_H-b{y}_H$

Ta có: p = $\overrightarrow{n}$. $\overrightarrow{H{M}_0}$ = a($x_0-x_H$) + b($y_0-y_H$)

             = $a{x}_0-a{x}_H+b{y}_0-b{y}_H$ = $a{x}_0$ + $b{y}_0$ + c (đpcm)

c. Vì $\overrightarrow{n}$ cùng phương với $\overrightarrow{H{M}_0}$ nên $\overrightarrow{H{M}_0}$ = t$\overrightarrow{n_n}$

$\Rightarrow$ $\{\begin{array}{c}{x}_0-x_H=ta\\ y_0-y_H=tb\end{array}$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}{x}_H=x_0-ta\\ y_H=y_0-tb\end{array}$

mà H thuộc $\mathrm{\Delta }$ nên a($x_0$ - ta) + b($y_0$ - tb) + c = 0 

$\iff$ a$x_0$ - t$a^2$ + b$y_0$ - t$b^2$ + c = 0 $\iff$ t = $\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$

Ta có: |$\overrightarrow{H{M}_0}$| = $\sqrt{(x_0-x_H{)}^2+(y_0-y_H{)}^2}$ = $\sqrt{(x_0-x_0+ta{)}^2+(y_0-y_0+tb{)}^2}$ = $\sqrt{(a^2+b^2).t^2}$ = $\sqrt{a^2+b^2}.t$ = $\sqrt{a^2+b^2}$. $\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$ = $\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ = $\frac{|p|}{|\overrightarrow{n}|}$ (đpcm)

Thực hành 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là A(1; 1), B(5; 2), C(4; 4). Tính độ dài các đường cao của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (4; 1), $\overrightarrow{AC}$ = (3; 3), $\overrightarrow{BC}$ = (-1; 2)

• Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\overrightarrow{n_1}$ = (1; -4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x - 1) - 4(y - 1) = 0 $\iff$ x - 4y + 3 = 0

• Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận $\overrightarrow{n_2}$ = (3; -3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x - 1) - 3(y - 1) = 0 $\iff$ x - y = 0

• Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận $\overrightarrow{n_3}$ = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x - 4) + (y - 4) = 0 $\iff$ 2x + y - 12 = 0

• Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = $\frac{2.1+1-12}{\sqrt{2^2+1^2}}$ = $\frac{9\sqrt{5}}{5}$
• Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = $\frac{5-2}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = $\frac{4-4.4+3}{\sqrt{1^2+(-4{)}^2}}$ = $\frac{9\sqrt{17}}{17}$

Vận dụng 6: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$: 4x - 3y + 2 = 0 và $d_2$: 4x - 3y + 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{4}{4}$ = $\frac{-3}{-3}$ $\ne$ $\frac{2}{12}$ $\Rightarrow$ $d_1$ // $d_2$.

Ta có: M(1; 2) $\in$ $d_1$, d($d_1$, $d_2$) = d(M; $d_2$) = $\frac{4.1-3.2+12}{\sqrt{4^2+3^2}}$ = 2