Giải bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Bài học đầu tiên chương 3 với nội dung: Hệ tọa độ trong không gian. Một kiến thức mới đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết để vận dụng giải quyết các bài toán. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn .

A. Tổng hợp kiến thức

I. Tọa độ điểm và vectơ

Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

=> Bộ ba số ( x; y; z ) là tọa độ điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: M = ( x; y; z ) hay M( x; y; z ).

Ta có: $\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}$

=> Bộ ba số $( a_{1}; a_{2}; a_{3} )$ là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ với hệ trục tọa độ Oxyz .

     Ký hiệu: $\overrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ hay $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$.

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Trong không gian Oxyz cho hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$. Ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3})$ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_{1}-b_{1};a_{2}-b_{2};a_{3}-b_{3})$ $k\overrightarrow{a}=k(a_{1};a_{2};a_{3})$ với k là số thực

==> Hệ quả:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}<=>a_{1}=b_{1};a_{2}=b_{2};a_{3}=b_{3}$ $\overrightarrow{0}=(0;0;0)$ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương <=> $a_{1}=kb_{1};a_{2}=kb_{2};a_{3}=kb_{3}$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A})$

III. Tích vô hướng

Định lí

• Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ xác định bởi:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3})$

Ứng dụng

• Độ dài vectơ:

$\overrightarrow{a}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

• Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz cho $A(x_{A},y_{A},z_{A})$  và $B(x_{B},y_{B},z_{B})$, ta có:

$AB=\left | \overrightarrow{AB} \right |=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$

• Góc giữa hai vectơ: Góc giữa $\overrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ và $\overrightarrow{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ là $\varphi $

$\cos\varphi =\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

• Đặc biệt: 

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}<=> a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu S có tâm I( a; b; c ) bán kính r có phương trình là:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$