Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Vận dụng phép đối xứng trục, đối xứng tâm để chứng minh các quan hệ hình học. Tính độ dài đoạn thẳng của hình thang. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Vẽ hình đối xứng qua trục, qua tâm. Chứng minh hai hình đối xứng qua trục, qua tâm
Ta sử dụng định nghĩa của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
- Đối xứng trục:
Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng qua hai hình đó.
- Đối xứng tâm
Hai điểm gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó.
Ví dụ 1: Cho
a) D đối xứng với E qua AH.
b)
Hướng dẫn:
a) Vì
Lại có AD = AE do giả thiết nên
b) Vì AH là đường cao của
Lại có A đối xứng với A qua AH nên
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với D qua điểm A và F là điểm đối xứng với D qua điểm C. Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm B.
Hướng dẫn:
Vẽ các điểm E và F sao cho A là trung điểm của DE hay DA = AE (1); C là trung điểm của DF hay DC = CF (2) thì E đối xứng với D qua A và F đối xứng với D qua C.
Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC
Từ (1) và (4)
Từ (3) và (5)
Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành ACBE ta được:
AC // BE và AC = BE (6)
Chứng minh tương tự ta được tứ giác ACBF là hình bình hành nên AC // BF ; BF = AC (7)
Từ (6) và (7)
2. Nhận dạng hai hình đối xứng qua trục, qua tâm để chứng minh hai hình bằng nhau
Ta sử dụng định nghĩa, tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm.
* Tính chất thừa nhận của phép đối xứng trục:
Nếu các điểm A và A', B và B', C và C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C' nằm giữa A' và B'. Tính chất này cho phép ta vẽ hai hình đối xứng với nhau qua một trục.
Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một trục thì chúng bằng nhau.
* Tính chất thừa của phép đối xứng tâm cũng giống như các tính chất thừa của phép đối xứng trục.
Ví dụ 3: Cho
a) Chứng minh rằng AD = AE
b) Tính số đo góc
Hướng dẫn:
a) Vì D đối xứng với M qua AB, E đối xứng với M qua AC theo giả thiết và A đối xứng với A qua AB, AC nên AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.
Áp dụng tính chất của phép đối xứng trục, ta được:
- AM = AD
- AM = AE
b) Theo câu a) ta có
= =
3. Vẽ thêm điểm đối xứng qua trục để chứng minh quan hệ về độ dài
- Ta vẽ thêm điểm đối xứng qua trục.
- Áp dụng tính chất hai hình đối xứng qua một trục.
- Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác.
Ví dụ 4: Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d Gọi C là điểm đối xứng với A qua d và D là giao điểm của d với đoạn thẳng BC. Vẽ điểm E bất kì trên d (E khác D). Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.
Hướng dẫn:
Vì C đối xứng với A qua d nên DA = DC. Do đó:
- AD + DB = CD + DB = CB (1)
- AE + EB = CE + EB (2)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào
Từ (1), (2) và (3)
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho
a) Đoạn thẳng AD đối xứng với AH, đoạn thẳng BD đối xứng với BH qua trục AB. Đoạn thẳng AE đối xứng với AH, đoạn thẳng CE đối xứng với CH qua trục AC.
b)
2. Cho
3. Cho
4. Cho
5. Cho hình thang vuông ABCD có
6. Cho
7. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O vẽ hai đường thẳng, một đường cắt hai cạnh AB, CD ở E và F. Đường kia cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành.
8. Trên đường phân giác ngoài đỉnh C của
9. Cho tứ giác ABCD có góc ngoài đỉnh C bằng