Trắc nghiệm Online xin gửi tới các bạn bài học Xét tính bằng nhau của các phân thức Toán lớp 8. Bài học cung cấp cho các bạn phương pháp giải toán và các bài tập vận dụng. Hi vọng nội dung bài học sẽ giúp các bạn hoàn thiện và nâng cao kiến thức để hoàn thành mục tiêu của mình..
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$, ta có:
$\frac{A}{B}$ = $\frac{C}{D}$ nếu A.D = B.C
Ví dụ 1: Ba phân thức sau có bằng nhau không?
$\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}$ ; $\frac{x-3}{x}$ ; $\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$
Hướng dẫn:
Ta chỉ cần xét xem hai đẳng thức $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$ và $\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$ có đúng hay không.
+) $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$
$\Leftrightarrow (x^{2}-2x-3).x=(x-3).(x^{2}+x)$
$\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}-3x=x^{3}+x^{2}-3x^{2}-3x$
$\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}-3x=x^{3}-2x^{2}-3x$
Do đó $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$
+) $\frac{x-3}{x}=\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-x}$
$\Leftrightarrow (x-3)(x^{2}-x)=x(x^{2}-4x+3)$
$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}-3x^{2}+3x=x^{3}-4x^{2}+3x$
$\Leftrightarrow x^{3}-4x^{2}+3x=x^{3}-4x^{2}+3x$
Do đó $\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}+x}=\frac{x-3}{x}$
Vậy 3 phân thức đã cho bằng nhau.
Ví dụ 2: Cho ba đa thức: $x^{2}-4x; x^{2}+4,x^{2}+4x$. Hãy chọn một đa thức thích hợp điền vào chỗ trống trong đẳng thức dưới đây:
$\frac{...}{x^{2}-16}=\frac{x}{x-4}$
Hướng dẫn:
Theo định nghĩa hai phân thức bằng nhau ta có:
$(...).(x-4) = x(x^{2}-16)$ hay $(...).(x-4) = x^{3}-16x$
Cách 1: Lần lượt thay 3 đa thức đã cho vào chỗ trống của biểu thức $(...)(x-4)$ ở vế trái ta được:
$(x^{2}-4x)(x-4)=x^{3}-8x^{2}+16x$
$(x^{2}+4)(x-4)=x^{3}-4x^{2}+4x-16$
$(x^{2}+4x)(x-4)=x^{3}-16x$
Vậy đa thức cần điền là $x^{2}+4x$
Cách 2: Gọi A là đa thức cần chọn, ta có:
$A.(x-4)=x(x^{2}-16)$
$\Leftrightarrow A(x-4)=x(x-4)(x+4)$
$\Leftrightarrow A=x(x+4)$
$\Leftrightarrow A=x^{2}+4$
Vậy đa thức cần điền là $x^{2}+4x$
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1$
b) $\frac{x^{5}-1}{x^{2}-1}=\frac{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}{x+1}$
c) $\frac{x^{3}-4x^{2}+8}{x^{2}-4}=\frac{x^{2}-2x-4}{x+2}$
d) $\frac{x^{2}-xy-x+y}{x^{2}+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$
2. Chứng tỏ rằng:
a) $x^{3}+1$ chia hết cho x+1
b) $\frac{x^{4}-x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x^{2}+x+1}$
3. a) Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có $(n^{3}-n)\vdots 3$
b) Áp dụng: Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên a, b ta luôn có $(a^{3}b-ab^{3})\vdots 6$