Bài tập về xét tính bằng nhau của các phân thức

Bài tập về xét tính bằng nhau của các phân thức.

1. a) Ta có:

 $\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1$

Vậy $\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$

b) $\frac{x^5-1}{x^2-1}=\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x+1}$

 $\iff (x^5-1)(x+1)=(x^2-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

 $\iff x^6+x^5-x-1=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2-x^4-x^3-x^2-x-1$

 $\iff x^6+x^5-x-1=x^6+x^5-x-1$

Vậy $\frac{x^5-1}{x^2-1}=\frac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x+1}$

c) $\frac{x^3-4x^2+8}{x^2-4}=\frac{x^2-2x-4}{x+2}$

 $\iff (x^3-4x^2+8)(x+2)=(x^2-2x-4)(x^2-4)$

 $\iff x^4-4x^3+8x+2x^3-8x^2+16=x^4-2x^3-4x^2-4x^2+8x+16$

 $\iff x^4-2x^3-8x^2+8x+16=x^4-2x^3-8x^2+8x+16$

Vậy $\frac{x^3-4x^2+8}{x^2-4}=\frac{x^2-2x-4}{x+2}$

d) $\frac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$

 $\iff (x^2-xy-x+y)(x+y)=(x^2+xy-x-y)(x-y)$

 $\iff x^3-x^{2}y-x^2+xy+x^{2}y-x{y}^2-xy+y^2=x^3+x^{2}y-x^2-xy-x^{2}y-x{y}^2+xy+y^2$

 $\iff x^3-x{y}^2-x^2+y^2=x^3-x{y}^2-x^2+y^2$

Vậy $\frac{x^2-xy-x+y}{x^2+xy-x-y}=\frac{x-y}{x+y}$

2. 

a) Ta có: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ do đó $x^3+1$ chia hết cho x+1

b) $\frac{x^4-x^2}{x^3-1}=\frac{x^3+x^2}{x^2+x+1}$

Ta có: $\frac{x^4-x^2}{x^3-1}=\frac{x^2(x^2-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^2(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^3+x^2}{x^2+x+1}$

Vậy $\frac{x^4-x^2}{x^3-1}=\frac{x^3+x^2}{x^2+x+1}$

3. a) Ta có: $n^3-n=n(n^2-1)=n(n-1)(n+1)$

Với n là số nguyên thì (n-1), n, (n+1) là ba số nguyên liên tiếp.

Do đó trong ba số đó luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên n, ta luôn có $(n^3-n)⋮3$

   b) Ta có: $a^{3}b-a{b}^3=a^{3}b-ab-a{b}^3+ab=ab(a^2-1)-ab(b^2-1)=ba(a-1)(a+1)-ab(b-1)(b+1)$

Theo câu a ta có a(a-1)(a+1) và b(b-1)(b+1) chia hết cho 3. Mà trong hai số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 2. Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố, do đó a(a-1)(a+1) và b(b-1)(b+1) chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên a, b ta luôn có $(a^{3}b-a{b}^3)⋮6$