Bài tập về vẽ thêm điểm đối xứng qua trục để chứng minh quan hệ về độ dài.

8.

Gọi d là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh C.

Vẽ thêm điểm E đối xứng với điểm A qua d bằng cách, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA ta được $\Delta $CAE cân tại C có d là phân giác của góc ở đỉnh nên d là đường trung trực của AE, do đó MA = ME.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta $MBE ta được:

MA + MB = ME + MB > BE = CE + CB = CA + CB

9. 

Vẽ điểm E đối xứng với điểm A qua trục BC.

Do C đối xứng với C qua trục BC nên $\widehat{ACB}$ đối xứng với $\widehat{ECB}$ qua BC 

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{ECB}$. Hay $\widehat{ECB}$ là góc ngoài đỉnh C của tứ giác do đó D, C, E thẳng hàng.

Do đó DE = DC + CE (1)

Vì E đối xứng với A qua BC nên CA = CE (2), AB = BE (3)

Ta có: AB + BD = BD + BE (4)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta $BDE ta được DB + BE > DE (5)

Từ (1), (2), (4) và (5) suy ra AB + BD > AC + CD