Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật

Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

1.

E, F là trung điểm của AB và BC nên EF là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }$ABC

$\Rightarrow$ EF // AC; EF = $\frac{1}{2}$AC (1)

G, H là trung điểm của CD và DA nên GH là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }$ADC

$\Rightarrow$ GH // AC; GH = $\frac{1}{2}$AC (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ EF // GH và EF = GH

$\Rightarrow$ tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có E, H là trung điểm của AB và AD

$\Rightarrow$ EH là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }$ADB

$\Rightarrow$ EH // BD

Mà AC $\perp$ BD; HG // AC

$\Rightarrow$ EH $\perp$ GH

Hình bình hành EFGH có EH $\perp$ GH do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

2.

a) Tứ giác NEKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

b) Ta đi chứng minh $\mathrm{\Delta }$IHA = $\mathrm{\Delta }$IHK

Xét $\mathrm{\Delta }$ABH và $\mathrm{\Delta }$AEN có:

• AB = AE
• $\widehat{BAH}=\widehat{AEN}$ (cùng phụ với $\widehat{ABH}$)

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$ABH = $\mathrm{\Delta }$AEN

$\Rightarrow$ AH = NE. Mà NE = HK nên AH = HK

Xét $\mathrm{\Delta }$IHA và $\mathrm{\Delta }$IHK :

• IH chung
• AI = IK (= $\frac{1}{2}$BE)
• AH = HK

$\Rightarrow$ $\mathrm{\Delta }$IHA = $\mathrm{\Delta }$IHK (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{IHA}=\widehat{IHC}$