Bài tập về vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật.

1.

E, F là trung điểm của AB và BC nên EF là đường trung bình của $\Delta $ABC

$\Rightarrow $ EF // AC; EF = $\frac{1}{2}$AC (1)

G, H là trung điểm của CD và DA nên GH là đường trung bình của $\Delta $ADC

$\Rightarrow $ GH // AC; GH = $\frac{1}{2}$AC (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ EF // GH và EF = GH

$\Rightarrow $ tứ giác EFGH là hình bình hành.

Lại có E, H là trung điểm của AB và AD

$\Rightarrow $ EH là đường trung bình của $\Delta $ADB

$\Rightarrow $ EH // BD

Mà AC $\perp $ BD; HG // AC

$\Rightarrow $ EH $\perp $ GH

Hình bình hành EFGH có EH $\perp $ GH do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

2.

a) Tứ giác NEKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

b) Ta đi chứng minh $\Delta $IHA = $\Delta $IHK

Xét $\Delta $ABH và $\Delta $AEN có:

  • AB = AE
  • $\widehat{BAH}=\widehat{AEN}$ (cùng phụ với $\widehat{ABH}$)

$\Rightarrow $ $\Delta $ABH = $\Delta $AEN

$\Rightarrow $ AH = NE. Mà NE = HK nên AH = HK

Xét $\Delta $IHA và $\Delta $IHK :

  • IH chung
  • AI = IK (= $\frac{1}{2}$BE)
  • AH = HK

$\Rightarrow $ $\Delta $IHA = $\Delta $IHK (c.c.c)

$\Rightarrow  \widehat{IHA}=\widehat{IHC}$