Ôn thi lên lớp 10 môn Toán Chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Cô si để tìm cực trị

Với chuyên đề này sẽ đề cập chủ yếu tới bất đẳng thức Côsi cũng như các ứng dụng của nó để giải quyết tối ưu các bài toán ....

A.Tổng quan kiến thức

Ta gọi $\frac{a+b}{2}$ là trung bình cộng của hai số a, b.

Tổng quát trung bình cộng của n số a₁, a₂,…, a_n là :

                   $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

Trung binh nhân của hai số không âm a ≥ 0, b ≥ 0 là $\sqrt{ab}$

Trung bình nhân của n số không âm a₁ ≥ 0, a₂ ≥ 0,…, a_n ≥ 0 là :

                  $\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$

Định lí: Ta có bất đẳng Cô si:

                    $\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}$    ∀a, b ≥ 0.

Dấu "=" chỉ xảy ra khi a = b.

Ngoài ra :

                  $\sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}$    ∀a, b, c ≥ 0.

                  $\sqrt[a]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}\leq \frac{a_{a}+a_{2}+...+a_{n}}{3}$   ∀ a₁, a₂,…, a_n ≥ 0.

Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.

Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.