Lời giải bài 5 chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị

Lời giải bài 5 chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị.

Vì x + y + z = 1 => $S = (x + y + z) \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z}$ .

<=> $S = 1 + 4 + 9 + (\frac{y}{x} + \frac{4 x}{y}) + (\frac{4 z}{y} + \frac{9 y}{z}) + (\frac{9 x}{z} + \frac{z}{x})$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{y}{x}, \frac{4 x}{y}$ ta có :

$\frac{y}{x} + \frac{4 x}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{x} . \frac{4 x}{y}} = 4$ (1)

Tương tự với 2 số dương $\frac{4 z}{y}, \frac{9 y}{z}$ ta có:

$\frac{4 z}{y} + \frac{9 y}{z} \geq 2 \sqrt{\frac{4 z}{y} . \frac{9 y}{z}} = 12$ (2)

Tương tự với 2 số dương $\frac{9 x}{z}, \frac{z}{x}$ ta có :

$\frac{9 x}{z} + \frac{z}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{9 x}{z} + \frac{z}{x}} = 6$ (3)

Từ (1) , (2) và (3) => $S \geq 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 = 36$

Dấu " = " xảy ra <=> $\frac{y}{x} = \frac{4 x}{y}, \frac{4 z}{y} = \frac{9 y}{z}, \frac{9 x}{z} = \frac{z}{x}, x + y + z = 1$

<=> $y = 2 x, z = 3 x, x + y + z = 1$

<=> $y = \frac{1}{3}, x = \frac{1}{6}, z = \frac{1}{2}$

Vậy Min S = 36 <=> $y = \frac{1}{3}, x = \frac{1}{6}, z = \frac{1}{2}$ .