Giải bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (tiếp theo) - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 26. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Ví dụ 1: Khử mẫu của biểu thức lấy căn hoặc trục căn thức ở mẫu:
c, $\frac{-2}{\sqrt{3}}$;
d, $\sqrt{\frac{7}{120}}$;
e, $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ với x.y > 0;
f, $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ với y < 0.
Hướng dẫn:
c, $\frac{-2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$
d, $\sqrt{\frac{7}{120}}$ = $\sqrt{\frac{7}{2^{2}.30}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{7}.\sqrt{30}}{2.30}=\frac{\sqrt{210}}{60}$
e, $\sqrt{\frac{3x}{5y^{5}}}$ = $\sqrt{\frac{3x.5y}{5^{2}.y^{6}}}$ = $\frac{\sqrt{15xy}}{\sqrt{5^{2}.y^{6}}}=\frac{\sqrt{15xy}}{5|y^{3}|}=\frac{\sqrt{15xy}}{5y^{3}}$
f, $\frac{2x}{\sqrt{-2y}}$ = $\frac{2x.\sqrt{-2y}}{(\sqrt{-2y})^{2}}$ =$\frac{-x.\sqrt{-2y}}{y}$ (với y < 0)
2. Biểu thức liên hợp
Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu
c, $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$;
d, $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$;
e, $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$;
f, $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ với $a\geq 0$.
Hướng dẫn:
c, $\frac{3}{\sqrt{7}+2}$ = $\frac{3.(\sqrt{7}-2)}{(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)}=\frac{3.(\sqrt{7}-2))}{7-4}=\sqrt{7}-2$
d, $\frac{9a-b^{2}}{3\sqrt{a}+b}$ = $\frac{(9a-b^{2})(3\sqrt{a}-b)}{(3\sqrt{a}+b)(3\sqrt{a}-b))}=\frac{(9a-b^{2})(3\sqrt{a}-b)}{9a-b^{2}}=3\sqrt{a}-b$ (với $a\geq 0$ và $a\neq \frac{b^{2}}{9}$)
e, $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}= \frac{2\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3}=\frac{\sqrt{3}.(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{2}$
f, $\frac{1}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}$ = $\frac{1.(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a}).(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})}$ = $\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}{a+1-a}$ = $\sqrt{a+1}+\sqrt{a}$ (với $a\geq 0$).
Điền vào chỗ chấm để hoàn thành nội dung sau:
Một cách tổng quát:
- Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{...........}$.
- Với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}$ = ..................
Hướng dẫn:
Một cách tổng quát:
- Với các biểu thức A, B, C mà A $\geq $ 0 và A $\neq $ B$^{2}$, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}$.
- Với các biểu thức A, B, C mà A, B $\geq $ 0 và A $\neq $ B, ta có $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}$ = $\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}$.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:
a, $\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$; b, $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$;
c, $\frac{1}{2-\sqrt{5}}$; d, $\frac{6}{\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}}$.
Câu 2: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức:
a, $\frac{1}{3+\sqrt{5}}+\frac{1}{3-\sqrt{5}}$;
b, $\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}}$;
c, $\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$;
d, $\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}$;
e, $\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}+\frac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$;
f, $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$.
Câu 3: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Rút gọn các biểu thức sau:
a, $\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+1$ với $x\geq 0,x\neq 1$;
b, $\frac{(2+\sqrt{3x})^{2}-(\sqrt{3x}+1)^{2}}{2\sqrt{3x}+3}$ với $x\geq 0$;
c, $\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}$ với $x\geq 0,x\neq 4$;
d, $\frac{\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2}}$ với $x\geq \frac{1}{2}$;
e, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ với $x\geq 0$;
f, $\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{x-\sqrt{1+x^{2}}}+2x$.
Câu 4: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Từ đó tính tổng S = $\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$.
Câu 5: Trang 28 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của n ta luôn có:
$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}=|1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}|$
Từ đó tính tổng:
S = $\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2018^{2}}+\frac{1}{2019^{2}}}$.