Giải bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 109. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
1. Hoạt động này cần sử dụng giấy trắng, thước kẻ có chia vạch và compa.
Thực hiện các bước lần lượt theo các hình hình vẽ dưới đây:
Lặp lại các bước 1, 2 và 3 với hai đường tròn bán kính khác đường tròn (P) và cho biết mối quan hệ giữa các đoạn thẳng BA và BC có gì thay đổi không? Từ đó em rút ra nhận xét gì về tính chất của hai tiếp tuyến khác nhau.
Hướng dẫn:
- Độ dài hai đoạn thẳng BA và BC bằng nhau: AB = BC
- Khi bán kính đường tròn (P) thay đổi thì mối quan hệ giữa các đoạn thẳng BA và BC không thay đổi. Độ dài đoạn thẳng AB vẫn bằng độ dài đoạn thẳng BC.
- Nhận xét:
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Ở hình 6.2, các điểm A, B, D và E đều là tiếp điểm của hình tròn. Vận dụng nhận xét trên giải thích tại sao AB = ED.
Hướng dẫn:
Từ nhận xét trên ta có: CA = CE và CB = CD
Mà AC = AB + BC và EC = ED + DC
=> AB + BC = ED + DC
=> AB = ED
2. Với đường tròn (P) và hai tiếp tuyên BA và BC em vừa vẽ ở hoạt động 1, sử dụng thước đo độ để đo các góc ABP, góc CBP, góc BPC, góc BPA.
a, Cho biết mối quan hệ của các cặp góc ABP và CBP, cặp góc APB và CPB.
b, Tương tự em hãy thử xem nhận định của mình có đúng với hai đường tròn khác không? Điền vào chỗ chấm để hoàn thành bảng.
Hướng dẫn:
a, Dùng thước đo độ đo các góc.
Ta có: $\widehat{ABP}=\widehat{CBP}$
$\widehat{APB}=\widehat{CPB}$
b, Tương tự với các đường tròn khác thì các cặp góc trên vẫn bằng nhau.
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
Áp dụng: Xét đường tròn (P) với hai tiếp tuyến BA và BC, biết rằng $\widehat{BPA}=2x^{0}+30^{0}$ và $\widehat{CPB}=5x^{0}-15^{0}$ (hình 6.4).
a, Tìm x
b, Tìm số đo các goc ABP, CBP, BPC, BPA.
Hướng dẫn:
a, $\widehat{BPA}$ = $\widehat{CPB}$ => $2x^{0}+30^{0}=5x^{0}-15^{0}$
<=> x = 15$^{0}$
b, $\widehat{BPA}=\widehat{CPB}=2x^{0}+30^{0}=60^{0}$
$\widehat{ABP}=\widehat{CBP}=90^{0}-\widehat{CPB}=90^{0}-60^{0}=30^{0}$
3. Em hãy hoàn thành câu hỏi cho bởi bảng sau:
| Giả thiết | Cho tam giác ABC và đường phân giác góc A. Đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I. Hình chiếu của I trên các đường thẳng chứa cạnh BC, AC và AB là D, E và F. | Cho tam giác ABC và đường phân giác góc A. Đường phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại K. Hình chiếu của K trên các đường thẳng chứa cạnh BC, AC và AB là D, E và F. |
| Hình vẽ | ||
| Yêu cầu | a, Cho biết mối quan hệ giữa ID, IE và IF. Từ đó, chứng minh ba điểm D, E và F cùng thuộc đường tròn tâm I. b, Chứng minh đường phân giác trong của góc A cũng đi qua I. | a, Cho biết mối quan hệ giữa KD, KE và KF. Từ đó, chứng minh ba điểm D, E và F cùng thuộc đường tròn tâm K. b, Chứng minh đường phân giác trong của góc A cũng đi qua K. |
| Hướng dẫn | a, BI là đường phân giác của góc B => ID = IF (Tính chất tia phân giác của một góc) CI là đường phân giác của góc C => ID = IE (Tính chất tia phân giác của một góc) => ID = IF = IE => Ba điểm D, E, F cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính ID b, Ta có: IF = IE => AI là phân giác của góc A (Tính chất tia phân giác của một góc) => Đường phân giác trong của góc A đi qua I. | a, BK là đường phân giác ngoài của góc B => KD = KF (Tính chất tia phân giác của một góc) CK là đường phân giác ngoài của góc C => KD = KE (Tính chất tia phân giác của một góc) => KD = KF = KE => Ba điểm D, E và F cùng thuộc đường tròn tâm K bán kính KD. b, Ta có: KE = KF => AK là đường phân giác của góc A (Tính chất tia phân giác của một góc) => Đường phân giác trong của góc A đi qua K |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Tìm x trong mỗi trường hợp ở hình 6.6, biết rằng AB và AD là tiếp tuyến của đường trò tâm C (B, D là tiếp điểm).
2. GPS (viết tắt của Global Positioning System) là hệ thống định vị toàn cầu, hệ thống xác định vị trí trên mặt đất dự vào vị tríc của các vệ tinh nhân tạo do bộ quốc phòng Hoa Kỳ thiết kế, xây dựng, vận hành, và quản lí. Vệ tinh GPS không thể truyền tải trực tiếp tín hiệu đến Trái Đất mà phải qua các trạm thu đặt tại điểm A và C. Biết rằng một vệ tinh B luôn quay xung quanh Trái Đất với khoảng cách xấp xỉ 17700 km, bán kính của Trái Đất xấp xỉ 6400 km.
a, Tính quãng đường truyền tín hiệu từ vệ tinh ở vị trí B đến các trạm thu tại A và C.
b, Tìm số đo các góc ABD và ABC.
3. Cho đoạn thẳng AB. Tren cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AB và các tiếp tuyến Ax, By. Trên nửa đường tròn tâm O lấy điểm M, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn, cắt Ax, By lần lượt tại C và D (hình 6.8).
a, Chứng minh rằng tứ giác ACDB là hình thang vuông.
b, Chứng minh rằng các tam giác ACM và BDM cân.
c, Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến cua đường tròn đường kính CD.
d, Gọi N là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AB.
e, Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì tích AC.BD không đổi.
f, Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn để diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác ACDB theo AB.
4. Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ dường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E cắt các cạnh AB, Ac tại M và N.
a, Chứng minh rằng $\widehat{MON}=\frac{1}{2}\widehat{HOK}$
b, Giả sử $\widehat{B}=50^{0}$, tính góc MON.
c, Chứng minh rằng tam giác BMO và CON đồng dạng với nhau.
d, Chứng minh rằng tích BM.CN không đổi khi tiếp tuyến với đường tròn (O) thay đổi.
e, Tìm vị trí tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E để tổng BM + CN là nhỏ nhất.
5. Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) song song với các cạnh của tam giác ABC chia tam giác ABC thành ba tam giác nhỏ. Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính của các đường tròn nội tiếp và P1, P2, P3 tương ứng là chu vi cảu ba tam giác nhỏ đó. Gọi P là chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a, P1 + P2 + P3 = P
b, r1 + r2 + r3 = r
6. Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là các cạnh; ha, hb, hc là các đường cao tương ứng; Ra, Rb, Rc lần lượt là bán kính các đường tròn bàng tiếp tương ứng trong các góc A, B, C; r là bán kính của đường tròn nội tiếp; p là nửa chu vi tam giác; S là diện tích tam giác. Chứng minh rằng:
a, S = Ra(p - a) = Rb(p - b) = Rc(p - c)
b, $\frac{1}{r}=\frac{1}{R_{a}}+\frac{1}{R_{b}}+\frac{1}{R_{c}}$;
c, $\frac{1}{R_{a}}=\frac{1}{h_{c}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{a}}$;