Giải bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 114. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
1. Ba vị trí tương đối cảu hai đường tròn
Đọc SGK Toán 9 - tập một, trang 118, em hãy hoàn thành bảng sau về vị trí của hai đường tròn:
| Hình vẽ | |||
| Nhận xét | Hai đường tròn cắt nhau | Hai đường tròn tiếp xúc nhau | Hai đường tròn không giao nhau |
| Số điểm chung | Có hai điểm chung | Có một điểm chung | Không có điểm chung |
2. Tính chất dường nối tâm
a, Sử dụng thước thẳng vẽ dường nối tâm của hai đường tròn (O) và (O') trong mỗi trường hopwk sau đây:
b, Chứng minh rằng đường nối tâm OO' chứa đường kính cảu cả hai đường tròn. Từ đó chỉ ra rằng OO' là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn.
c, Trong trường hợp hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm A và B, đoạn thẳng AB được gọi là dây chung của hai đường tròn. Chứng minh rằng OO' là đường trung trực của đoạn AB.
d, Trong trường hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau, diểm chung của hai đường tròn được gọi là tiếp điểm. Chứng minh rằng OO' đi qua tiếp điểm đó.
Hướng dẫn:
a, Vẽ OO'
b, OO' là đường nối tâm của hai đường tròn => đường thẳng OO" chứa bán kính của hai đường tròn
=> OO" chứa đường kính của cả hai đường tròn
Do đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn => đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm cả hai đường tròn đó.
c, A và B thuộc đường tròn (O) => AB là một dây cung của đường tròn (O)
A và B cũng thuộc đường tròn (O') => AB là một dây cung của đường tròn (O')
=> AB là dây chung của hai đường tròn (O) và (O').
+ Ta có: OA = OB (= bán kính của đường tròn (O))
O'A = O'B (= bán kính đường tròn (O'))
=> OO' là đường trung trực của AB.
d, Gọi C là tiếp điểm của hai đường tròn
Đường nối tâm OO' chứa đường kính của hai đường tròn => OO' = OA + O'A
=> O, A, O' thẳng hàng hay OO' đi qua tiếp điểm của hai đường tròn.
Định lí:
- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nốii tâm là đường trung trực của dây chung .
- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.
3. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính
| Vị trí tương đối | Hình vẽ | Hệ thức tương ứng |
| Cắt nhau | R - r < OO' < R + r | |
| Tiếp xúc nhau | a, OO' = R + r b, OO' = R - r | |
| Không giao nhau | a, OO' > R + r b, OO' < R - r c, OO' = 0 |
4. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
- Tiếp tuyến chung trong và tiếp tuyến chung ngoài
- Vẽ tiếp tuyến của hai đường tròn trong mỗi trường hợp:
a, Có bốn tiếp tuyến chung
b, Có ba tiếp tuyến chung
c, Có hai tiếp tuyến chung
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Ở hình 7.5, các điểm L, Q, N và P đều là các tiếp điểm của đường tròn (C) và (D). Biết rằng LM = 7 và MP = 5,5. Tìm độ dài các đoạn thẳng LQ và NP.
2. Phần lớn các đĩa nhạc CD hiện nay đều có ba đường tròn đồng tâm. Đường tròn thứ nhất là lỗ hổng ở giữa đĩa với đường kính AB = 2,5cm. Đường tròn thứ hai là phần viền nhựa đen không có chức năng lưu trữ dữ liệu với đường kính CD = 4cm. Đường tròn thứ ba là viền của chiếc đĩa nhạc có đường kính EF = 12cm (hình 7.6).
a, Tính bán kính của mỗi đường tròn.
b, Tính độ rộng hình vành khăn có chức năng lưu trữ dữ liệ của chiếc đĩa.
3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với điểm B và C lần lượt nằm trên đường tròn (O) và (O') (hình 7.7).
a, Kẻ tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC.
b, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
c, Tính độ dài đoạn BC theo R và r.
d, Gọi D là giao điểm của CA với đường tròn tâm O (D không trùng với A). Chứng minh rằng ba điểm B, O, D thẳng hàng.
e, Gọi E là giao điểm của BA với đường tròn (O'). Chứng minh rằng CE song song với BD.
f, Chứng minh rằng ba đường thẳng BC, DE và OO' đồng quy tại một điểm.
g, Tinhs dộ dài đoạn BA và CA biết R = 9cm, r = 7cm.
4. Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính. Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn. Qua A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại D và cắt đường tròn (O') tại E. Gọi I là giao điểm của AB và OO'.
a, Chứng minh rằng I là trung điểm của AB.
b, Chứng minh tứ giác OAO'B là hình thoi.
c, Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và O' trên DE. Chứng minh rằng tam giác HIK cân tại I.
d, Chứng minh rằng HI = $\frac{BD}{2}$
e, Chứng minh rằng tam giác BDE cân tại B.
5. Cho hai đường tròn (O) và (O') ở ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD với A, C thuộc (O) và B, D thuộc (O') (hình 7.9).
a, Chứng minh rằng AB và CD đối xứng với nhau qua OO'.
b, Tiếp tuyến chung trong GH cắt AB và CD theo thứ tự tại E và F với G thuộc (O), H thuộc (O'). Chứng minh rằng AE = EG và EB = EH.
c, Chứng minh rằng EG = FH, AB = EF.