Giải câu 3 trang 117 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.
a, BI và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O) => IB = IA (1)
AI và CI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O') => IA = IC (2)
Từ (1) và (2) => IB = IC hay I là trung điểm của BC.
b, Xét tam giác ABC có :
- AI là trung tuyến ứng với cạnh BC
- AI = IB = $\frac{BC}{2}$
=> Tam giác ABC vuông tại A (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền)
c, BI và AI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O) => $\widehat{BIO}=\widehat{AIO}$
AI và CI là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I của đường tròn (O') => $\widehat{CIO'}=\widehat{AIO'}$
+ Ta có: $\widehat{BIO}+\widehat{AIO}+\widehat{CIO'}+\widehat{AIO'}=180^{0}$
=> 2.$\widehat{AIO}+\widehat{AIO'}=180^{0}$
<=> $\widehat{AIO}+\widehat{AIO'}=90^{0}$
hay $\widehat{OIO'}=90^{0}$
+ Xét tam giác OIO' vuông tại I có IA là đường cao => IA$^{2}$ = OA.O'A = R.r
=> IA = $\sqrt{R.r}$
Mà BC = 2IA => BC = $2\sqrt{R.r}$
d, BC là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O')
=> OB $\perp $ CB và O'C $\perp $ CB
=> OB // O'C
+) Xét tam giác ACO' và tam giác ADO có:
$\frac{O'C}{OD}=\frac{AO'}{AO}=\frac{r}{R}$
=> O'C // OD (Định lí ta - lét đảo)
+ OB // O'C và O'C // OD => Ba điểm B, O, D thẳng hàng.
e, Chứng minh tương tự phần d ta có ba điểm C, O', E thẳng hàng
mà OB // O'C => BD // CE
f, Ta có CE // BD => BC cắt DE tại một điểm
- O' là trung điểm của CE
- O là trung điểm của BD
=> OO' đi qua giao điểm của BC và DE
Hay ba đường thẳng BC, DE là OO' đồng quy
g, IA = $\sqrt{R.r}$ = $\sqrt{9.7}$ = $\sqrt{63}$
Ta có: IB = IAvà OB = OA => OI là đường trung trực AB
IC = IA và O'C = O'A => O'I là đường trung trực của AC
+ Xét tam giác vuông OIA có tanIOA = $\frac{IA}{AO}$ = $\frac{\sqrt{63}}{9}$ => $\widehat{IOA}=41^{0}$
+ Xét tam giác vuông O'IA có tanIO'A = $\frac{IA}{AO'}$ = $\frac{\sqrt{63}}{7}$ => $\widehat{IO'A}=49^{0}$
+ AB = 2.OA.sinIOA = 2.9.sin$41^{0}$ = 12 (cm)
+ AC = 2.O'A.sinIO'A = 2.7.sin$49^{0}$ = 10,5 (cm)