Giải câu 3 trang 112 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn O tại => Ax  AB và By  AB

=> Ax // By

Mà C  Ax và D  By => AC // BD

+ Tứ giác ACDB có AC // BD và CAB^=900 => ACDB là hình thang vuông

b, Ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M

=> AC = CM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Tam giác ACM có AC = CM => Tam giác ACM cân tại C

Chứng mnh tương tự ta có tam giác BDM cân tại D.

c, Gọi I là trung điểm của CD => I là tâm đường tròn đường kính CD

Hình tháng vuông ABCD có I là trung điểm của CD, O là trung điểm của AB

=> OI là đường trung bình của hình thang

=> OI AB tại O

+ AC và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của đường tròn (O)

=> OC là phân giác của góc ACM và góc AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

=> AOC^=MOC^

Chứng minh tương tự ta có: BOD^=MOD^

+ Ta có: AOC^+MOC^+BOD^+MOD^=1800

=> 2.MOC^+2.MOD^=1800

<=> 2.(MOC^+MOD^)=1800

<=> MOC^+MOD^=900

<=> COD^=900

+ Xét tam giác COD vuông tại O có OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD => OI = 12CD

=> OI = IC = ID => O thuộc đường tròn tâm I đường kính CD.

+ Xét đường tròn tâm I đường kính CD và đường thẳng AB có:

  • O là điểm chung duy nhất
  • OI AB tại O

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

d, Xét tam giác NAC và tam giác NDB có  AC // BD

=> NDNA=BDAC (hệ quả của định lí ta-lét)

Mà DB = MD và AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> NDNA=MDMC

+ Xét tam giác CDA có: NDNA=MDMC => MN // AC (định lí đảo của dịnh lí Ta-lét)

Mà AC AB => MN AB

e, CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M => OM CD

Xét tam giác COD vuông tại O (chứng minh ở phần c), có đường cao OM

=> OM2 = MC.MD (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Mà MC = AC và MD = DB => OM2 = AC.DB

=> AC.BD = R2

=> Khi M thay đổi thì tích AC.BD không đổi và luôn bằng R2.

f, Tứ giác ACBD là hình thang vuông => SACBD(AC+BD).AB2(CM+MD).AB2CD.AB2

+ Để diện tích tứ giác ACBD là nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng CD là nhỏ nhất.

=> Khi đó OM CD và OM AB => CD // AB  và CD = AB

SACBD = CD.AB2 = AB22