Giải câu 3 trang 112 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.
a, Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn O tại => Ax $\perp $ AB và By $\perp $ AB
=> Ax // By
Mà C $\in $ Ax và D $\in $ By => AC // BD
+ Tứ giác ACDB có AC // BD và $\widehat{CAB}=90^{0}$ => ACDB là hình thang vuông
b, Ta có AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M
=> AC = CM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
+ Tam giác ACM có AC = CM => Tam giác ACM cân tại C
Chứng mnh tương tự ta có tam giác BDM cân tại D.
c, Gọi I là trung điểm của CD => I là tâm đường tròn đường kính CD
Hình tháng vuông ABCD có I là trung điểm của CD, O là trung điểm của AB
=> OI là đường trung bình của hình thang
=> OI $\perp $ AB tại O
+ AC và MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của đường tròn (O)
=> OC là phân giác của góc ACM và góc AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
=> $\widehat{AOC}=\widehat{MOC}$
Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{BOD}=\widehat{MOD}$
+ Ta có: $\widehat{AOC}+\widehat{MOC}+\widehat{BOD}+\widehat{MOD}=180^{0}$
=> $2.\widehat{MOC}+2.\widehat{MOD}=180^{0}$
<=> 2.$(\widehat{MOC}+\widehat{MOD})=180^{0}$
<=> $\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=90^{0}$
<=> $\widehat{COD}=90^{0}$
+ Xét tam giác COD vuông tại O có OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD => OI = $\frac{1}{2}$CD
=> OI = IC = ID => O thuộc đường tròn tâm I đường kính CD.
+ Xét đường tròn tâm I đường kính CD và đường thẳng AB có:
- O là điểm chung duy nhất
- OI $\perp $ AB tại O
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
d, Xét tam giác NAC và tam giác NDB có AC // BD
=> $\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}$ (hệ quả của định lí ta-lét)
Mà DB = MD và AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$
+ Xét tam giác CDA có: $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$ => MN // AC (định lí đảo của dịnh lí Ta-lét)
Mà AC $\perp $ AB => MN $\perp $ AB
e, CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M => OM $\perp $ CD
Xét tam giác COD vuông tại O (chứng minh ở phần c), có đường cao OM
=> OM$^{2}$ = MC.MD (hệ thức giữa đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền)
Mà MC = AC và MD = DB => OM$^{2}$ = AC.DB
=> AC.BD = R$^{2}$
=> Khi M thay đổi thì tích AC.BD không đổi và luôn bằng R$^{2}$.
f, Tứ giác ACBD là hình thang vuông => SACBD = $\frac{(AC+BD).AB}{2}$ = $\frac{(CM+MD).AB}{2}$ = $\frac{CD.AB}{2}$
+ Để diện tích tứ giác ACBD là nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng CD là nhỏ nhất.
=> Khi đó OM $\perp $ CD và OM $\perp $ AB => CD // AB và CD = AB
SACBD = $\frac{CD.AB}{2}$ = $\frac{AB^{2}}{2}$