Giải bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 106. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
1. Dựa vào những gợi ý dưới đây, em hãy cho biết đường thẳng m là tiếp tuyến với đường tròn (Q; R) theo dấu hiệu nhận biết nào? Phát biểu dấu hiệu nhận biết đó.
Dấu hiệu:
(1): m và (Q) có một điểm chung duy nhất.
(2): Khoảng cách từ tâm Q đến đường thẳng m bằng R
Dấu hiệu (2) còn được phát biểu:
Nếu m $\perp $ QP với P nằm trên đường tròn (Q) thì m là tiếp tuyến của đường tròn (Q) tại P.
Hãy chứng minh dấu hiệu nhận biết (2) dựa vào những câu hỏi dưới đây:
a, Giả sử đường thẳng m không tiếp tuyến với đường tròn (Q). Khi đo đường thẳng vuông góc với m đi qua Q cắt đường thẳng m tại một điểm R không nằm trên đường tròn (Q). Do m $\perp $ QP nên tam giác QRP vuông tại P, có $\widehat{QRm}$ là góc ngoài đỉnh R, em hãy so sánh $\widehat{QPm}$ và $\widehat{QPR}$.
b, Dễ thấy R là hình chiếu của Q trên m. Xét tam giác vuông QRP vuông tại R có $\widehat{QPm}$ là góc ngoài đỉnh P, em hãy so sánh $\widehat{QPm}$ và $\widehat{QRP}$.
c, Từ hai câu hỏi a và b, em hãy cho biết điều giả định ban đầu có đúng hay không.
Hướng dẫn:
a, $\widehat{QRm}$ > $\widehat{QPR}$
b, $\widehat{QPm}$ > $\widehat{QRP}$
c, Điều giả định là sai
Áp dụng: Trong các đường thẳng AB dưới đây, đường thẳng nào là tiếp tuyến với đường tròn (C)? Giải thích.
Hướng dẫn:
Đường thẳng AB ở hình a là tiếp tiếp của đường tròn (C):
Ta có:
Hình a: $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ => tam giác CAB vuông tại A (định lý py-ta-go đảo)
Hay CA $\perp $ AB
2. Cách dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn.
Dựng theo các bước như trong hình
a, Xác định tiếp tuyến khac AB của đường tròn (C) nhưng vẫn đi qua A.
b, Chứng minh cách dựng là đúng.
c, Trong trường hợp nào thì ta được đường tròn tâm M lớn hơn đường tròn tâm C? Khi đường tròn tâm M lớn hơn đường tròn tâm C thì có ảnh hưởng đến cách dựng tiếp tuyến của em hay không? Giải thích.
Hướng dẫn:
a, Gọi B' là giao điểm còn lại của đường tròn tâm M và đường tròn tâm C
AB' cũng là tiếp tuyên của đường tròn (C).
b, Xét tam giác CBA có:
BM là trung tuyến ứng với AC (M là trung điểm của AC)
MB = $\frac{1}{2}$AC (theo cách dựng MB là bán kính của đường tròn tâm M, AC là đường kính của đường tròn tâm M)
=> Tam giác CBA vuông tại B (tính chất tiếp tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)
=> CB $\perp $ AB
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C với B là tiếp điểm
c, Đường tròn tâm M lớn hơn đường tròn tâm C khi trung điểm M của AC nằm ngoài đường tròn tâm C
Khi đường tròn tâm M quá lớn ta không thể dựng được tiếp tuyến của C vì khi đó đường tròn tâm M và tâm C không giao nhau hoặc tiếp xúc nhau.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Tìm bán kính của đường tròn (C) trong những trường hợp ở hình 5.4:
2. a, Đánh dấu "X" vào bên cạnh chỗ chấm tương ứng với khẳng định đúng dưới đây:
- Nếu dường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại M thì d vuông góc với OM. ..............
- Nếu đường thẳng d vuông góc với bán kính OM của đường tròn (O) thì d là tiếp tuyến của đường tròn. ...........
b, Với những trường hợp sai, hãy vẽ hình để bác bỏ khẳng định đó.
3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA cắt nhau tại D (khác A) (hình 5.5).
a, Chứng minh rằng BC là đường trung trực của AD.
b, Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B và AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C.
4. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE của tam giác cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của AH (hình 5.6).
a, Chứng minh rằng điểm E nằm trên đường tròn tâm O đường kính AH.
b, Gọi F là giao điểm của đường tròn O với cạnh AB. Chứng minh ba điểm C, H, F thẳng hàng.
c, Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn O.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại K (hình 5.7).
Chứng minh rằng:
a, Tứ giác AKEB là hình thang vuông.
b, Tam giác AHK cân,
c, HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC.