Giải câu 4 trang 108 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.

a, Xét tam giác AEH vuông tại E có AH là cạnh huyền

O là trung điểm của AH => EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AEH

=> EO = 12AH

=> OE cũng là một bán kính của đường tròn tâm O đường kính AH hay E nằm trên đường tròn tâm O đường kính AH.

b, F thuộc đường tròn tâm O => OF là bán kính của đường tròn => OF = 12AH

Xét tam giác AHF có: 

  • FO là trung tuyến ứng với cạnh AH (O là trung điểm của AH)
  • OF = 12AH

=> Tam giác AHF vuông tại F (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

=> HF  AF hay HF  AB

  • H là giao điểm các đường cao của tam giác ABC => đường thẳng CH là đường cao của tam giác ABC

=> CH  AB

  • HF  AB và CH  AB => Ba điểm C, H, F thẳng hàng

c, Tam giác ABC cân tại A, AD là đường cao => AD cũng là đường trung tuyến => BD = DC

  • Xét tam giác BEC vuông tại E có ED là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=> ED = 12BC = CD

  • Xét tam giác DEC có DE = DC

=> Tam giác DEC cân tại D => CED^ECD^

  • Tam giác OAE cân tai O (OA = OE)

=> EAO^OEA^

  • Ta có: HEO^ + OEA^ = 900 (vì BEA^ = 900)

=> HEO^EAO^ = 900 (EAO^OEA^) (1)

EAO^ + ECD^ = 900 (vì ADC^ = 900)

=> HEO^ = ECD^

=> HEO^ = CED^ (= ECD^)

  • CED^DEH^ = 900 (vì CEH^ = 900)

=> HEO^  + DEH^ = 900 (HEO^ = CED^)

<=> DEO^ = 900 => DE  OE

+ Xét đường tròn tâm O bán kính OE và đường thẳng DE có:

  • E là điểm chung duy nhất;
  • DE  OE

=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E