Giải bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - Sách phát triển năng lực trong môn toán 9 tập 1 trang 102. Phần dưới sẽ hướng dẫn trả lời và giải đáp các câu hỏi trong bài học. Cách làm chi tiết, dễ hiểu, Hi vọng các em học sinh nắm tốt kiến thức bài học..
1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Trường hợp 1: Đường tròn (Q) và đường thẳng m tiếp xúc nhau tại P. Đường thẳng m là tiếp tuyến của đường tròn (Q)
Dựa vào các câu hỏi dưới đây hãy chứng minh nhận xét:
Nếu đường thẳng m là tiếp tuyến của đường tròn (Q) tại P thì m $\perp $ QP.
a, Giả sử đường thẳng m không vuông góc với QP. Khi đó đường thẳng vuông góc với m qua Q cắt đường thẳng m tại điểm R. Do m là tiếp tuyến với đường tròn (Q) nên R sẽ không nằm trên đường tròn (Q). So sánh độ dài hai đoạn thẳng QP và QR.
b, Dễ thấy R là hình chiếu cảu Q trên m. Vận dụng mối quan hệ của đường xiên và hình chiếu em hãy so sánh dộ dài hai đoạn thẳng QP và QR.
c, Từ a và b, em hãy cho biết giả định ban đầu có đúng hay không.
Hướng dẫn:
a, Khi đó xét tam giác QPR vuông tại R có QR là cạnh góc vuông, QP là cạnh huyền => QP > QR
b, Ta có định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Theo định lí trên, áp dụng với trường hợp này, R là hình chiếu của Q trên m => QR sẽ là đường ngắn nhất, khi đó QR sẽ bằng bán kính của đường tròn.
=> QP = QR
c, Từ a và b có giả định ban đầu là đúng.
Trường hợp 2: Đường tròn (Q) và đường thẳng m cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng m là cát tuyến của đường tròn (Q)
a, Trong trường hợp đường thẳng m không đi qua Q, gọi H là hình chiếu của Q trên m (hình 4.2b). Chứng minh rằng OH < R và HA = HB = $\sqrt{R^{2}-OH^{2}}$.
b, Xét đường tròn (Q) có bán kính R = 5cm, điểm Q cách đường thẳng m một khoảng bằng 3cm. Chứng minh rằng đường thẳng m cắt đường tròn (Q) tại hai diểm phân biệt A và B. Tính độ dài dây cung AB.
Hướng dẫn:
a, Xét tam giác OHB vuông tại H có QB là cạnh huyền và QH là cạnh góc vuông
=> QH < QB mà QB = R => QH < R
HB = $\sqrt{QB^{2}-QH^{2}}$ = $\sqrt{R^{2}-QH^{2}}$
Xét tam giác QAB cân tại Q (QA = QB = R), có QH là đường cao ứng với cạnh AB => QH cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh AB
=> H là trung điểm của AB hay AH = HB = $\sqrt{R^{2}-QH^{2}}$
b, Q cách m một khoảng bằng 3cm => QH = 3cm < R = 5cm=> H nằm trong đường tròn
=> m cắt đường tròn tại hai điểm A và B phân biệt.
AB = 2. $\sqrt{R^{2}-QH^{2}}$ = 2.$\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 8cm
Trường hợp 3: Đường tròn (Q) và đường thẳng m không giao nhau
Xét đường tròn (Q) có bán kính R = 3cm, điểm Q cách đường thẳng m một khoảng bằng 5cm. Chứng minh rằng đường thẳng m và đường tròn (Q) không giao nhau. Hỏi rằng tập hợp tâm các đường tròn có tính chất như đường tròn (Q) nằm trên đường thẳng nào?
Hướng dẫn:
Q cách đường thẳng m một khoảng bằng 5cm => QH = 5cm > R = 3cm
=> H nằm ngoài đường tròn (Q) khi đó đường thẳng m sẽ không cắt đường tròn (Q)
Tập hợp tâm các đường tròn có tính chất như đường tròn (Q) nằm trên đường thẳng đi qua Q và cách đường thẳng m một khoảng lớn hơn R
2. Điền vào các ô trống còn thiếu trong bảng sau:
Hướng dẫn:
| Hình vẽ | |||
| Nhận xét | Đường tròn (Q) và đường thẳng m cắt nhau | Đường thẳng m tiếp xúc với đường tròn (Q) | Đường tròn (Q) và đường thẳng m không giao nhau |
| Số điểm chung | 2 | 1 | 0 |
| So sánh | QH < R | QH = R | QH > R |
B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. a, Sau khi vẽ đường thẳng d và đường tròn (O) như hình 4.5 bạn Hiền liền nhận xét: "Đường thẳng d không cắt đường tròn (O) vì khoảng cách từ mọi điểm nằm trên đường tròn đến đường thẳng d đều lớn hơn bán kính". Theo em, nhận xét trên của Hiền đúng hay sai?
b, Nếu nhận xét trên của bạn sai, em hãy sửa lại cho đúng.
2. Cho tam giác ABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác.
a, Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác BIC.
b, Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh rằng: $\frac{AI}{AK}=\frac{HI}{HK}$
3. Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn tâm O, đường kính 3 cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên:
A. Đường vuông góc với AB tại A.
B. Đường vuông góc với AB tại B.
C. Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng bằng 1,5cm.
D. Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng bằng 3cm.
Hãy chọn phương án đúng.
4. Cho đường tròn (O), bán kính OM, dây CD là đường trung trực của OM (hình 4.7).
a, Tứ giác OCMD là hình gì? Giải thích câu trả lời của em.
b, Kẻ tiếp tuyến với đường tròn O tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OM tại I. Tính độ dài đoạn thẳng CI, biết OC = $2\sqrt{3}$(cm)
5. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. H là hình chiếu của M trên AB.
Chứng minh rằng:
a, ME = MF
b, AM là tia phân giác của góc BAE.
c, AE = AH
d, MH$^{2}$ = AE.BF