Giải câu 5 trang 105 sách phát triển năng lực toán 9 tập 1.
a, AE $\perp $ EF và BF $\perp $ EF
=> Tứ giác AEFB là hình thang vuông
d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M => OM $\perp $ d hay OM $\perp $ EF
=> OM // AE // BF (cùng vuông góc với EF)
Xét hình thang AEFB có:
- O là trung điểm của AB
- OM // AE // BF
=> M là trung điểm của EF (tính chất đường trung bình của hình thang)
=> ME = MF
b, Tam giác OMA cân tại O (OA = OM)
=> $\widehat{OAM}$ = $\widehat{OMA}$
Ta có: $\widehat{OMA}$ + $\widehat{AME}$ = $90^{0}$ (OM $\perp $ EF)
$\widehat{EAM}$ + $\widehat{AME}$ = $90^{0}$ (tam giác EMA vuông tại E)
=> $\widehat{EAM}$ = $\widehat{OMA}$
=> $\widehat{EAM}$ = $\widehat{OAM}$ (= $\widehat{OMA}$)
=> AM là phân giác của góc BAE.
c, Xét tam giác EAM vuông tại E và tam giác HAM vuông tại H có:
- Có chung cạnh huyền AM
- $\widehat{EAM}$ = $\widehat{OAM}$
=> $\Delta $EAM = $\Delta $HAM (g.c.g)
=> EA = HA
d, Chứng minh tương tự phần b và c ta có BH = BF
Xét tam giác MAB vuông tại M (có đường trung tuyến MO ứng với cạnh BC bằng $\frac{1}{2}$ cạnh BC)
có MH là đường cao
=> MH$^{2}$ = HA.HB = AE.BF