Giải Bài 3: Lôgarit

Bài học với nội dung kiến thức về Lôgarit. Một kiến thức không quá khó song đòi hỏi các bạn học sinh cần nắm được lý thuyết. Dựa vào cấu trúc SGK toán lớp 12, Trắc nghiệm Online sẽ tóm tắt lại hệ thống lý thuyết và hướng dẫn giải các bài tập 1 cách chi tiết, dễ hiểu. Hi vọng rằng, đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học tập tốt hơn.

A. Tổng hợp kiến thức

I. Khái niệm

• Cho hai số dương a, b ( a khác 1). Số a thảo mãn đẳng thức $a^{\alpha}=b$ được gọi là lôgarit cơ số a của b.
• Ký hiệu: $\log_{a}b$

$\alpha =\log_{a}b<=> a^{\alpha }=b$  $a,b>0,a\neq 1$

Chú ý: 

• Không có lôgarit của số âm và số 0.

Tính chất

$\log_{a}1=0$ $\log_{a}a=1$ $a^{\log_{a}b}=b$ $\log_{a}(a^{\alpha })=\alpha $

II. Quy tắc tính Lôgarit

1. Lôgarit của một tích

Định lí 1

• Cho 3 số dương $a,b_{1},b_{2}$ với $a\neq 1$, ta có:

$\log_{a}(b_{1}b_{2})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}$

• Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.

Ví dụ minh họa:

Tính: $\log_{3}(9.27)$

Áp dụng công thức, tính chất Lôgarit ta có: 

$\log_{3}(9.27)=\log_{3}9+\log_{3}27=2+3=5$

Chú ý:

• Với $n$ số dương, ta có: $\log_{a}(b_{1}.b_{2}...b_{n})=\log_{a}b_{1}+\log_{a}b_{2}+..+\log_{a}b_{n}$  với $a,b_{1},b_{2},..,b_{n}>0,a\neq 1$.

2. Lôgarit của một thương

Định lí 2

• Cho 3 số dương $a,b_{1},b_{2}$ với $a\neq 1$, ta có:

$\log_{a}(\frac{b_{1}}{b_{2}})=\log_{a}b_{1}-\log_{a}b_{2}$

• Lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit.
• Đặc biệt: $\log_{a}\frac{1}{b}=-\log_{a}b$

3. Lôgarit của một lũy thừa

Định lí 3

• Cho 2 số dương $a,b$ với $a\neq 1$, ta có:

$\log_{a}b^{\alpha }=\alpha \log_{a}b$

• Lôgarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
• Đặc biệt: $\log_{a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}\log_{a}b$

III. Đổi cơ số

Định lí 4

• Cho 3 số dương $a,b,c$ với $a\neq 1,c\neq 1$, ta có:

$\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$

• Đặc biệt:  $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

                            $\log_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha}\log_{a}b$

IV. Lôgarit thập phân.Lôgarit tự nhiên

1. Lôgarit thập phân

• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10.
• $\log_{10}b$ thường được viết $\log b$ hoặc $\lg b$.

2. Lôgarit tự nhiên

• Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số e.
• $\log_{e}b$ còn được viết $\ln b$.