Dạng 1: Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit.

Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số,... để biến đổi vế này về vế kia hoặc hai vế cùng bằng một đại lượng thứ ba,...

Bài tập 1: Cho a, b, c là ba số dương khác 1. Chứng minh:

a) $\frac{\log_{a} c}{\log_{a b} c} = 1 + \log_{a} b$

b) $a^{\log_{c} b} = b^{\log_{c} a}$ .

Bài giải: a) $\frac{\log_{a} c}{\log_{a b} c} = 1 + \log_{a} b$

$\Leftrightarrow \log_{a} c \times \log_{c} (a b) = 1 + \log_{a} b$

$\Leftrightarrow \log_{a} c \times (\log_{c} a + \log_{c} b) = 1 + \log_{a} b$

$\Leftrightarrow \log_{a} c \times \log_{c} a + l o g_{a} c \times \log_{c} b = 1 + \log_{a} b$

$\Leftrightarrow 1 + \log_{a} b = 1 + \log_{a} b$ (luôn đúng).

b) Lôgarit hai vế cơ số a ta được,

$\log_{a} (a^{\log_{c} b}) = \log_{a} (b^{\log_{c} a})$

$\Leftrightarrow \log_{c} b = \log_{c} a \times \log_{a} b$

$\Leftrightarrow \log_{c} b = l o g_{c} b$ (luôn đúng).

Bài tập 2: Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn $x^{2} + 9 y^{2} = 6 x y .$ Chứng minh:

$\frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2 \log_{12} (x + 3 y)} = 1.$

Bài giải: Ta thấy $x^{2} + 9 y^{2} = 6 x y \Leftrightarrow (x - 3 y)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 3 y$ .

Do đó:

$\frac{1 + \log_{12} x + \log_{12} y}{2 \log_{12} (x + 3 y)} = \frac{\log_{12} (36 y^{2})}{\log_{12} (36 y^{2})} = 1.$