1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
$\Delta _{1}$: x - 2y + 3 = 0,
$\Delta _{2}$: 3x - y - 1 = 0.
a. Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b. Giải hệ $\left\{\begin{matrix}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{matrix}\right.$
c. Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ với nghiệm của hệ phương trình trên.
Hướng dẫn giải:
a. Thay tọa độ điểm M vào hai phương trình $\Delta _{1}$, $\Delta _{2}$ đều thỏa mãn. Nên điểm M thuộc cả hai đường thẳng trên.
b. $\left\{\begin{matrix}x-2y+3=0\\ 3x-y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1\\ y=2\end{matrix}\right.$
Hệ phương trình có nghiệm x = 1, y = 2.
c. Tọa độ giao điểm của $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ trùng với nghiệm của hệ phương trình trên.
Luyện tập 1: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a. $\Delta _{1}$: x + 4y - 3 = 0 và $\Delta _{2}$: x - 4y - 3 = 0;
b. $\Delta _{1}$: x + 2y - $\sqrt{5}$ = 0 và $\Delta _{2}$: 2x + 4y - $3\sqrt{5}$ = 0.
Hướng dẫn giải:
a. $\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{1}}(1; 4)$
$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{2}}(1; -4)$
Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ không cùng phương, nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ cắt nhau.
b. $\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{1}}(1; 2)$
$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n_{2}}(2; 4)$
Ta có $\overrightarrow{n_{1}}$ và $\overrightarrow{n_{2}}$ cùng phương nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ song song hoặc trùng nhau.
Ta có: x + 2y - $\sqrt{5}$ = 0 $\Leftrightarrow $ 2x + 4y - $2\sqrt{5}$ = 0
2x + 4y - $2\sqrt{5}$ $\neq $ 2x + 4y - $3\sqrt{5}$ nên $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ song song.
2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 2: Hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6.) Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Hướng dẫn giải:
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, nên bốn góc tạo nên 2 cặp góc đối đỉnh bẳng nhau.
Hoạt động 3: Cho hai đường thẳng cắt nhau $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ tương ứng có các vecto pháp tuyến
$\overrightarrow{n_{1}}$, $\overrightarrow{n_{2}}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a. Góc $\varphi $ và góc ($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).
b. cos$\varphi $ và cos($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).
Hướng dẫn giải:
a. Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp có $\varphi $ = ($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).
(tính chất: trong tứ giác nội tiếp, góc trong bằng góc ngoài đối đỉnh với nó).
b. Theo a: $\varphi $ = ($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$)
Suy ra: cos$\varphi $ = cos($\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$).
Luyện tập 2: Tính góc giữa hai đường thẳng:
$\Delta _{1}$: x + 3y + 2 = 0 và $\Delta _{2}$: y = 3x + 1
Hướng dẫn giải:
$\Delta _{1}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{1}}(1; 3)$
$\Delta _{2}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_{2}}(3; -1)$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, ta có:
$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}})\right |=\frac{|1.3-1.3|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}.\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=0$
Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi =90^{o}$.
Luyện tập 3: Tính góc giữa hai đường thẳng: $\Delta _{1}:\left\{\begin{matrix}x=2+t\\ y=1-2t\end{matrix}\right.$ và $\Delta _{2}:\left\{\begin{matrix}x=1+t\\ y=5+3t\end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải:
$\Delta _{1}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(1; -2)$
$\Delta _{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1; 3)$
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$, ta có:
$cos\varphi =\left | cos(\overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}})\right |=\frac{|1.1-2.3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}.\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Do đó góc giữa $\Delta _{1}$ và $\Delta _{2}$ là $\varphi =45^{o}$.
Xét đường thẳng $\Delta$ bất kì cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng $\Delta $ thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu $\alpha _{\Delta }$ là số đo của góc $\widehat{xAz}$. Thực hành luyện tập sau đây, ta thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc.
Luyện tập 4: Cho đường thẳng $\Delta$: y = ax + b, với a $\neq $ 0.
a. Chứng minh rằng $\Delta$ cắt trục hoành.
b. Lập phương trình đường thẳng $\Delta_{0}$ đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với $\Delta$.
c. Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa $\alpha _{\Delta }$ và $\alpha _{\Delta_{0} }$.
d. Gọi M là giao điểm của $\Delta_{0}$ với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tan$\alpha _{\Delta }$=a.
Hướng dẫn giải:
a. $\Delta$ có vecto pháp tuyển: $\overrightarrow{n}(a; -1)$
Trục hoành Ox có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{n_{2}}(0; 1)$
Do $\overrightarrow{n}(a; -1)$ và $\overrightarrow{n_{2}}(0; 1)$ không cùng phương nên $\Delta$ cắt trục hoành.
b. Đường thẳng $\Delta_{0}$ song song với $\Delta$ nên $\Delta_{0}$ có dạng: y = ax + m, với m là số thực.
Do $\Delta_{0}$ đi qua O(0; 0) nên m = 0.
$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $\Delta_{0}$: y = ax.
c. Do đường thẳng $\Delta_{0}$ song song với $\Delta$ nên $\alpha _{\Delta }$ = $\alpha _{\Delta_{0} }$. (hai góc ở vị trí đồng vị).
d. Gọi tọa độ điểm M(x0 ; y0).
Do M thuộc $\Delta_{0}$ nên y0 = a.x0
Có tan$\alpha _{\Delta }$= tan $\alpha _{\Delta_{0} }$ = tan$\widehat{MOx}$ = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ = a.
Vậy tan$\alpha _{\Delta }$=a.
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Hoạt động 4: Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng $\Delta$: ax + by + c = 0 có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên $\Delta$
a. Chứng minh rằng: $\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM$
b. Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c$
c. Chứng minh rằng HM = $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Hướng dẫn giải:
a. Do $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{HM} $ có cùng phương nên $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$ = $|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|.cos0^{o}=|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|$
Hoặc: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM}$ = $|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|.cos180^{o}=-|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|$
Suy ra: $\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right | = |\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{HM}|$ = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM$
b. $\overrightarrow{HM}(x_{0}-x_{1}; y_{0}-y_{1}) $
Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})= a.x_{0} + b.y_{0} - a.x_{1}-b.y_{1}$
Mà H có tọa độ (x1; y1) thuộc đường thẳng $\Delta$, nên thay tọa độ điểm H vào có: $-a.x_{1}-b.y_{1}=c$
Vậy $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})=ax_{0}+by_{0}+c$
c. Theo a và b ta có:
$\left | \overrightarrow{n}.\overrightarrow{HM} \right |= \sqrt{a^{2}+b^{2}}.HM = |x_{0}+by_{0}+c|$
Suy ra: HM = $\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Trải nghiệm: Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ và giải thích vì sao kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.
Hướng dẫn giải:
- Đo trực tiếp có: khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta$ là độ dài đoan MH bằng 2 đơn vị độ dài.
- Kết quả đo đạc phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4, vì đây điểm M có tọa độ trùng với điểm M của ví dụ 4 và đường thẳng $\Delta$ có phương trình trùng với phương trình trong ví dụ 4.
Luyện tập 5: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{matrix}x=5+3t\\y=-5-4t\end{matrix}\right.$
Hướng dẫn giải:
- Đường thẳng $\Delta$ qua điểm A(5; -5) và có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(4; 3)$
Phương trình tham số của $\Delta$ là: 4(x -5) + 3(y +5) = 0 Hay 4x + 3y -5 =0.
- Áp dụng công thức khoảng cách từ M đến $\Delta$ là: $d(M;\Delta )=\frac{|4.1+3.2-5|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=1$
Vậy khoảng cách từ M đến $\Delta$ là 1.
Vận dụng: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5m, CF = 6m.
a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1m thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF.
b. Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
Hướng dẫn giải:
a.
- Tọa độ các điểm: A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6)
- Đường thẳng EF có vecto chỉ phương $\overrightarrow{EF}(10; -6)$
Chọn vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}(3; 5)$
Phương trình tổng quát của đường thẳng EF là: 3(x - 5) + 5(y - 12) = 0 Hay 3x + 5y - 75 = 0.
b. Để lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt thì 10,7 phải lớn hơn khoảng cách từ B đến đường thẳng EF.
Áp dụng công thức khoảng cách từ B đến EF là: $d(B; EF )=\frac{|3.0+5.0-75|}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}\approx 12,9$ >10,7
Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Bài tập 7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a. $\Delta _{1}:3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$ và $\Delta _{2}: 6x+2y-\sqrt{6}=0$
b. $d _{1}: x-\sqrt{3}y+2=0$ và $d _{2}: \sqrt{3}x-3y+2=0$
c. $m _{1}: x-2y+1=0$ và $m _{2}: 3x+y-2=0$
Bài tập 7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a. $\Delta _{1}:\sqrt{3}x+y-4=0$ và $\Delta _{2}: x+\sqrt{3}y+3=0$
b. $d_{1}:\left\{\begin{matrix}x=-1+2t\\ y=3+4t\end{matrix}\right.$ và $d_{2}:\left\{\begin{matrix}x=3+s\\ y=1-3s\end{matrix}\right.$ (t, s là các tham số)
Bài tập 7.9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(-2; 0) và đường thẳng $\Delta $: x + y - 4 = 0.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\Delta $
b. Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với $\Delta $.
c. Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(3; 0) và vuông góc với $\Delta $.
Bài tập 7.10. Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2; 1).
a. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài tập 7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a $\neq $ 0) và d': y = a'x + b' (a' $\neq $ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = -1.
Bài tập 7.12. Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.