Giải bài 21 Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Hoạt động 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?

Hướng dẫn giải:

Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi khoảng cách IM = R.

Hay: $\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}=R$

Luyện tập 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)² +(y - 4)² = 7.

Hướng dẫn giải:

Tâm I(-2; 4). Bán kính R = $\sqrt{7}$

Luyện tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.

a. x² + y² - 2x + 4y - 2 = 0

b. x² + y² - 2x + 4y + 6 = 0

c. x² + y² + 6x + 4y  + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

a. Ta có: a = 1; b = -2; c = -2

Xét a² + b² - c = 7 > 0.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

Tâm I(1; -2). Bán kính R = $\sqrt{7}$

b. Ta có: a = 1; b = -2; c = 6

Xét a² + b² - c = -1 < 0.

Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

c. Ta có: a = -3; b = 2; c = 2

Xét a² + b² - c = 11 > 0.

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

Tâm I(-3; 2). Bán kính R = $\sqrt{11}$

Luyện tập 3: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8).

Hướng dẫn giải:

• Gọi điểm I(x; y) là tâm của đường tròn (C), ta có: IM = IN = IP.

Ta có: $IM=\sqrt{(x-4{)}^2+(y+5{)}^2}$,

$IN=\sqrt{(x-2{)}^2+(y+1{)}^2}$,

$IP=\sqrt{(x-3{)}^2+(y+8{)}^2}$

Vì IM = IN = IP, nên ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{c}(x-4{)}^2+(y+5{)}^2=(x-2{)}^2+(y+1{)}^2\\ (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=(x-3{)}^2+(y+8{)}^2\end{array} \\ \iff \{\begin{array}{c}-8x+16+10y+25=-4x+4+2y+1\\ -4x+4+2y+1=-6x+9+16y+64\end{array} \end{gathered}$$

$\iff \{\begin{array}{c}-4x+8y=-36\\ 2x-14y=68\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-5\end{array}$

Vậy I(-1; -5)

• Tính IM = $\sqrt{(-1-4{)}^2+(-5+5{)}^2}$ = 5

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)² +(y + 5)² = 25.

Vận dụng: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy $\pi =3,14$, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.

Hướng dẫn giải:

Xét đường tròn (C): có tâm O(0; 0) và bán kính R = $\sqrt{\frac{S}{3,14}}$

Theo hướng dẫn SGK, ta có mỗi quan hệ: R $\ge d_{(O;\mathrm{\Delta })}$

Ta có: $d_{(O;\mathrm{\Delta })}=\frac{|1,57.0+2,57.0-8|}{\sqrt{1,{57}^2+2,{57}^2}}\approx 2,66$

Suy ra R $\ge 2,66$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với đường tròn (C).

Vậy bán kính của bể nhỏ nhất cần tìm là R = 2,66 m.

2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA HÌNH TRÒN

Hoạt động 2: Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 25 và điểm M(4; -2).

a. Chứng minh điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C).

b. Xác định tâm và bán kính của (C).

c. Gọi $\mathrm{\Delta }$ là tiêp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$. Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

Hướng dẫn giải:

a. Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn ta có:

(4 - 1)² + (-2 - 2)² = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

c. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{IM}(3;-4)$ do IM vuông góc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ (tính chất đường tiếp tuyến của đường tròn).

phương trình tông quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là: 3.(x - 4) - 4.(y +2) = 0, hay 3x - 4 y - 20 = 0.

Luyện tập 4: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến $\mathrm{\Delta }$ của (C) tại điểm N(1; 0).

Hướng dẫn giải:

Do 1² + 0² - 2.1 + 4.0 + 1 = 0, nên điểm N thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{IN}(0;2)$

Phương trình tiếp tuyến là: 0.(x - 1) + 2(y - 0) = 0 hay y = 0