Các đường thẳng có quan hệ vuông góc với nhau như thế nào trong không gian. Để biết chi tiết, Trắc nghiệm Online xin chia sẻ với các bạn bài: Hai đường thẳng vuông góc. Với kiến thức trọng tâm và các bài tập có lời giải chi tiết, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các em học tập tốt hơn..
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc giữa hai vecto trong không gian
Định nghĩa: Trong không gian, cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vecto khác vecto- không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó ta gọi góc $\widehat{BAC}$ $(0^0\leq \widehat{BAC}\leq 180^0)$ là góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ trong không gian, kí hiệu là: $\left ( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right )$ (Hình 3.11)
2. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian
Định nghĩa: Trong không gian, cho $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là hai vecto khác vecto- không. Tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức sau:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left | \overrightarrow{u} \right |.\left | \overrightarrow{v} \right |.cos\left ( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right )$
II. VECTO CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa
Vecto $\overrightarrow{a}$ khác vecto- không được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của vecto $\overrightarrow{a}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $d$.
2. Nhận xét
a) Nếu $\overrightarrow{a}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $d$ thì vecto $k\overrightarrow{a}$ với $k\neq 0$ cùng là vecto chỉ phương của $d$.
b) Một đường thẳng $d$ trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm $A$ thuộc $d$ và một vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}$ của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vecto chỉ phương cùng phương.
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với $a$ và $b$.
2. Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ ta có thể lấy điểm $O$ thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ đường thẳng qua $O$ và song song với đường thẳng còn lại.
b) Nếu $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $a$ và $\overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $b$ và $\left ( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right )=\alpha $ thì góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng $\alpha $ nếu $0^0\leq \alpha \leq 90^0$ và bằng $180^0-\alpha $ nếu $90^0\leq \alpha \leq 180^0$.
Nếu $a$ và $b$ song song với nhau thì góc giữa chúng bằng $0^0$.
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$.
2. Nhận xét
a) Nếu $\overrightarrow{u}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $a$ và $\overrightarrow{v}$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $b$ thì;
$a\perp b\Leftrightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng đã cho thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
B. Bài tập và hướng dẫn giải
Câu 1: Trang 97 - SGK Hình học 11
Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\). Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{EG};\)
b) \(\overrightarrow{AF}\) và \(\overrightarrow{EG};\)
c) \(\overrightarrow{EG}\) và \(\overrightarrow{DH}.\)
Câu 2: Trang 97 - SGK Hình học 11
Cho hình tứ diện \(ABCD\).
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0.\)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện \(ABCD\) có \(AB ⊥ CD\) và \(AC ⊥ DB\) thì \(AD ⊥ BC\).
Câu 3: Trang 97 - SGK Hình học 11
a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?
b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?
Câu 4: Trang 98 - SGK Hình học 11
Trong không gian cho hai tam giác đều \(ABC\) và \(ABC'\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC, CB, B'C, C'A,\) Chứng minh rắng:
a) \(AB ⊥ CC'\);
b) Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Câu 5: Trang 98 - SGK Hình học 11
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC\) và có \(\widehat{ABC}= \widehat{BSC}=\widehat{CSA}.\) Chứng minh rằng \(SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB\).
Câu 6: Trang 98 - SGK Hình học 11
Trong không gian cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABC'D'\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm \(O\) và \(O'\). Chứng minh rằng \(AB ⊥ OO'\) và tứ giác \(CDD'C'\) là hình chữ nhật.
Câu 7: Trang 98 - SGK Hình học 11
Cho \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:
\(S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}.\)
Câu 8: Trang 98 - SGK Hình học 11
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.\) Chứng minh rằng:
a) \(AB ⊥ CD\);
b) Nếu \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) thì \(MN ⊥ AB\) và \(MN ⊥ CD\).